Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta MAB,\Delta MDC$ có:

$MA=MD$

$\widehat{AMB}=\widehat{CMD}$ (Đối đỉnh)

$MB=MC$

$\to \Delta MAB=\Delta MDC(c.g.c)$

$\to \widehat{MAB}=\widehat{MDC}$

$\to AB//CD$

b.Từ câu a $\to AB=CD$

   Ta có: $AB\perp AC, AB//CD\to AC\perp CD$

$\to \widehat{BAK}=\widehat{KCD}$

Xét $\Delta ABK,\Delta CDK$ có:

$KA=KC$ vì $K$ là trung điểm $AC$

$\widehat{KAB}=\widehat{KCD}(=90^o)$

$AB=CD$

$\to\Delta KAB=\Delta KCD(c.g.c)$

$\to KB=KD$

$\to \Delta KBD$ cân tại $K$

c.Ta có: $MA=MD\to M$ là trung điểm $AD$

               $K$ là trung điểm $AC$

               $DK\cap CM=O$

$\to O$ là trọng tâm $\Delta ACD$

$\to CO=\dfrac23CM$

d.Ta có: $M$ là trung điểm $BC, K$ là trung điểm $AC$ và $AM\cap BK=N$

$\to N$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to KN=\dfrac13KB, MN=\dfrac13AM$

Vì $O$ là trọng tâm $\Delta ACD\to KO=\dfrac12DK, MO=\dfrac12CM$

$\to KN=KO$ vì $KB=KD$

Ta có: $BC^2=AB^2+AC^2=CD^2+AC^2=AD^2\to BC=AD\to 2MC=2MA\to MC=MA$

$\to MN=MO$

Vì $KN=KO, MN=MO$

$\to M, K\in$ trung trực $NO$

$\to MK$ là trung trực $NO$

$\to MK\perp NO$