Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $I\in$ trung trực $AC\to IA=IC\to \Delta IAC$ cân tại $I$

$\to \widehat{IAC}=\widehat{ICA}$

$\to 90^o-\widehat{IAC}=90^o-\widehat{ICA}$

$\to \widehat{IAB}=\widehat{IBA}$

$\to \Delta IAB$ cân tại $I$

$\to IB=IA$

$\to IA=IB=IC$

b. Trên tia đối của tia $MH$ lấy $K$ sao cho $MH=MK$

Xét $\Delta MAK,\Delta MHI$ có:

$MA=MI$

$\widehat{AMK}=\widehat{HMI}$

$MK=MH$

$\to \Delta AMK=\Delta IMH(c.g.c)$

$\to AK=HI, \widehat{MAK}=\widehat{MIH}\to AK//HI$

Mà $AH\perp BC$

$\to AI^2=AH^2+HI^2=AH^2+AK^2=HK^2$

$\to AI=HK$

$\to AI=2HM$

$\to MH=\dfrac12AI=MA=MI$

Ta có: $IE$ là trung trực $AC\to IE\perp AC=E$ là trung điểm $AC$

Tương tự chứng minh được $EM=\dfrac12AI$

$\to MH=ME$

c.Ta có: $E, I$ là trung điểm $AC, BC$ và $AI\cap BE=N$

$\to N$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to IN=\dfrac13AI$

Vì $M$ là trung điểm $AI\to IM=\dfrac12AI$

$\to MN=IM-IN=\dfrac13AI-\dfrac12AI=\dfrac16AI$

$\to \dfrac{MN}{AI}=\dfrac16$