Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta ABC$ vuông, $\hat C=30^o$

$\to \hat B=90^o-\hat C=60^o$

Mà $BA=BE$

$\to\Delta ABE$ đều

b.Xét $\Delta AIB, \Delta EIB$ có:

Chung $BI$

$\widehat{ABI}=\widehat{EBI}$

$BA=BE$

$\to\Delta ABI=\Delta EBI(c.g.c)$

$\to AI=EI$

c.Từ câu b$\to\widehat{IEB}=\widehat{IAB}=90^o\to IE\perp BC$

d.Ta có $BI$ là phân giác $\hat B$
$\to \widehat{IBC}=\dfrac12\hat B=30^o=\hat C$

$\to\Delta IBC$ cân tại $I\to IB=IC$

Ta có $\Delta AIB$ vuông tại $A, \widehat{ABI}=\dfrac12\hat B=30^o$

$\to\Delta ABI$ là nửa tam giác đều

$\to AI=\dfrac12BI, AB=\dfrac{BI\sqrt{3}}{2}\to BI=\dfrac{2AB}{\sqrt{3}}$

$\to IA+IB=\dfrac12BI+BI=\dfrac32BI=AB\sqrt{3}<2AB$

Lại có $\Delta ABC$ vuông tại $A, \hat B=60^o\to \Delta ABC$ là nửa tam giác đều

$\to CB=2AB$

$\to IA+IB<BC$