Bài 4:

+ I là trung điểm của BC ⇒ BI = CI = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3cm

+ IM ⊥ AB tại M ⇒ BMI = $90^{0}$ 

⇒ ΔBMI vuông tại M

+ IN ⊥ AC tại N ⇒ CNI = $90^{0}$ 

⇒ ΔCNI vuông tại M

a. Xét ΔAIB và ΔAIC có:

AB = AC (gt)

BI = CI (cmt)

AI chung

⇒ ΔAIB = ΔAIC (c.c.c)

b. + ΔAIB = ΔAIC (cma) ⇒ AIB = AIC (2 góc tương ứng)

mà AIB +AIC = $180^{0}$ 

⇒ AI ⊥ BC

⇒ AIB = $90^{0}$ 

⇒ ΔAIB vuông tại I

+ Xét ΔAIB vuông tại I có:

AI² + BI² = AB² (định lí)

AI² + 3² = 5²

AI² + 9 = 25

AI² = 25 - 9 = 16

⇒ AI = 4cm

c.

+ AB = AC (gt) ⇒ ΔABC cân tại A

⇒ B = C = $\frac{180^{0} - BAC}{2}$ = $\frac{180^{0} - 120^{0}}{2}$ = $\frac{60^{0}}{2}$ = $30^{0}$ 

+ Xét ΔBMI vuông tại M có:

B + BIM = $90^{0}$ (định lí)

$30^{0}$ + BIM = $90^{0}$

BIM = $90^{0}$ - $30^{0}$ = $60^{0}$

+ Xét ΔBMI vuông tại M và ΔCNI vuông tại N có:

BI = CI (cmt)

B = C (cmt)

⇒ ΔBMI = ΔCNI (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ BIM = CIN (2 góc tương ứng); IM = IN (2 cạnh tương ứng)

mà BIM = $60^{0}$ ⇒ CIN = $60^{0}$

+ BIM + MIN + CIN = $180^{0}$ 

$60^{0}$ + MIN +  $60^{0}$ = $180^{0}$ 

$120^{0}$ + MIN = $180^{0}$ 

MIN = $180^{0}$ - $120^{0}$ = $60^{0}

mà IM = IN (cmt) ⇒ IMN đều

Bài 5:

3xy + y = 4 - x

⇒ 9xy + 3y = 12 - 3x

⇒ 9xy + 3y + 3x + 1 = 13

⇒ 3y(3x + 1) + (3x + 1) = 13

⇒(3x + 1)(3y + 1) = 13

⇒ 3x + 1 ∈ Ư(13)

mà Ư(13) = {1; -1; 13; -13}

⇒ 3x + 1 ∈ {1; -1; 13; -13}

Ta có bảng sau:

3x + 1    1        -1         13       -13

3y + 1    13       -13       1         -1

x             0        ∅          4          ∅

y             4        ∅          0          ∅

Vậy: x = 0 thì y = 4 và x = 4 thì y = 0

a/ xét ΔABI và ΔACI

 có  AI là cạnh chung

       AB=AC=5cm   (theo đề bài)

       BI=IC  (I là chung diểm của BC)

⇒ΔABI = ΔACI   (c.c.c)

b/ vì ΔABI = ΔACI  (cma)

    ⇒∠AIB=∠AIC  ( 2 góc tương ứng)

    mà ∠AIB+∠AIC=180 độ ( kề bù) 

  ⇒∠AIB=∠AIC=180 độ ÷2=90 độ

 =>AI⊥BC

   và BI=IC   (  2 canh tương ứng)

  mà IB+IC=BC=6cm

  ⇒IB=IC=6÷2=3 cm

 xét ΔABI có∠AMI= 90 độ  ( theo đinh lý pytago)

  AB²=BI²+IA²

HAY   AI²=5²-3²

         AI²=16

          AI=4