1) BE, CF là đường kính => góc BEC = góc BFC = $90^{0}$ 

Xét tứ giác BCEF có góc BEC = góc BFC (cmt) 

   Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh BC

=> BCEF là tứ giác nội tiếp. => B, C, E, F cùng nằm trên 1 đường tròn.

2) Xét ΔDHC ⊥ tại D và ΔDBA ⊥ tại D có: góc DCH = góc DAB (cùng phụ góc ABC)

 => ΔDHC ~ ΔDBA (g.g)

 => $\frac{DH}{DB}$ = $\frac{DC}{DA}$ => DH.DA=DC.DB 

ΔABG nội tiếp (O) có AG là đường kính => ΔABG ⊥ tại B => AB⊥BG

Ta có: AB⊥FC (gt) ; AB⊥BG (cmt) => FC//BG (từ ⊥ -> //)

ΔACG nội tiếp (O) có AG là đường kính => ΔACG ⊥ tại C => AC⊥CG

Ta có: AC⊥BE (gt) ; AC⊥CG (cmt) => BE//CG (từ ⊥ -> //)

Xét tứ giác BHCG có FC//BG (cmt); BE//CG (cmt) => BHCG là HBH.

3) BHCG là HBH (cmt) có 2 đường chéo HG và BC cắt nhau tại I

 Mà I là trung điểm BC (gt)

=> I là trung điểm HG 

Xét ΔAHG có I là trung điểm HG ; O là trung điểm AG => IO là đường trung bình của ΔAHG => IO = $\frac{1}{2}$.AH

   Mà O, BC cố định (gt)

=> OI cố định => AH=2OI không đổi

Áp dụng bđt Cosi, ta có:

  $S_{ΔAEN}$ = $\frac{1}{2}$AE.EH $\leq$ $\frac{1}{4}$ $AE^{2}$ + $EH^{2}$= $\frac{1}{4}$ $AH^{2}$ = $OI^{2}$

Dấu "=" xảy ra khi AE=EH Khi ΔEAH cân tại E khi đó góc HAE = góc BCA = $45^{0}$

Như vậy, điểm A ∈ cung BC lớn và góc BCA = $45^{0}$ thì $S_{ΔAEN}$ đạt GTLN.