a) Xét ∆ AMK và ∆ AMH có:

Góc AMK = góc AMH = 90°

AM chung

Góc MAK = góc MAH (gt)

⇒∆ AMK = ∆ AMH (ch-gn)

b, ✳️ C/m AM vuông góc với QCX

Gọi giao điểm của AM và QC là P.

Xét ∆AQC có: CH vuông góc với AQ

                         QK vuông góc với AC

                         mà M là giao điểm của CH và QK

⇒M là trực tâm của ∆ AQC

⇒AP vuông góc với QC (đpcm)

✳️ C/m HK // QC

Xét ∆ AMK = ∆ AMH (cmt)

⇒AK = AH (2 cạnh t/ư)

Nối H với K, gọi giao điểm của AM và HK là D.

Xét ∆ AHK cân tại A (AK = AH)

⇒AD là phân giác đồng thời là đg cao

⇒AD vuông góc với HK

Ta có: AP vuông góc với HK (cmt)

           AP vuông góc với QC (cmt)

⇒HK // QC (quan hệ từ vuông góc đến song song)

c, So sánh MC và QC

Xét ∆ MKC có góc K = 90°

⇒Góc KMC là góc nhọn

mà góc QMC là góc kề bù với góc KMC

⇒Góc QMC tù

Xét ∆ QMC có góc QMC tù

 ⇒QC là cạnh lớn nhất

⇒QC > MC ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

d, Gọi giao điểm của BE và AC là F.

Xét ∆ ABH có: AI là p/g góc BAH

                         HI là p/g góc AHB

                         mà I là giao điểm của AI và HI

⇒I là tâm đg tròn nội tiếp ∆ ABH

⇒BI là p/g góc ABH

⇒Góc ABI = góc HBI

Xét ∆ ABF có góc A = 90°

⇒Góc AFB = 90° - góc ABI (1)

Xét ∆ HBE có góc H = 90°

⇒Góc BEH = 90° - góc HBI (2)

mà góc ABI = góc HBI (cmt) (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒góc AFB = góc BEH

Ta lại có: góc BEH = góc AEF ( đối đỉnh)

⇒Góc AFB = góc AEF

 ⇒∆ AEF cân tại A

⇒AD là p/g đồng thời là đg cao

⇒AD vuông góc với EF

hay BE vuông góc với AM

Xét ∆ ABM có: AH vuông góc với BM (gt) 

                          BE vuông góc với AM (cmt)

                           Mà E là giao điểm của AH và BE

⇒E là trực tâm của ∆ ABM (đpcm)