Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ACF, \Delta ABE$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AFC}=\widehat{AEB}(=90^o)$

$\to\Delta ACF\sim\Delta ABE(g.g)$

$\to\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AF}{AE}$

$\to\dfrac{AC}{AF}=\dfrac{AB}{AE}$

Mà $\widehat{FAE}=\widehat{BAC}$

$\to\Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$

b.Xét $\Delta AHE,\Delta ADC$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{AEH}=\widehat{ADC}(=90^o)$

$\to\Delta AEH\sim\Delta ADC(g.g)$
$\to\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AC}$

$\to AE.AC=AH.AD$

Ta có $FK\perp BC\to FK//HD$

$\to \dfrac{HC}{HF}=\dfrac{DC}{DK}$

$\to CH.DK=CD.HF$

c.Tương tự câu b chứng minh được $BF.BA=BH.BE$

$\to \dfrac{BF}{BE}=\dfrac{BH}{BA}$

Mà $\widehat{FBE}=\widehat{ABH}$

$\to\Delta BHA\sim\Delta BFE(c.g.c)$

$\to \widehat{BEF}=\widehat{BAH}=\widehat{HAF}=90^o-\widehat{AHF}=90^o-\widehat{DHC}=\widehat{HCD}=\widehat{HCB}$

Tương tự chứng minh được $\Delta BDE\sim\Delta BHC(c.g.c)$

$\to \widehat{BCH}=\widehat{BED}$

$\to \widehat{BEF}=\widehat{BED}$

$\to EH$ là phân giác $\widehat{FED}$

$\to EH$ là phân giác $\widehat{IED}$

$\to \dfrac{HI}{HD}=\dfrac{EI}{ED}$

d.Tương tự câu a chứng minh được $\Delta DEC\sim\Delta ABC$

$\to \Delta AEF\sim\Delta DEC$

Mà $M, N$ là trung điểm $AF, CD$

$\to \Delta EMF\sim\Delta ENC$

$\to \widehat{EMF}=\widehat{ENC}$

$\to \widehat{EMB}=\widehat{ENC}$

$\to\widehat{EMB}+\widehat{ENB}=\widehat{ENC}+\widehat{ENB}=\widehat{BNC}=180^o$