Ta có:

$\quad \Delta: \dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y}{-4}$

$\Leftrightarrow \Delta: \begin{cases}x = 1 + 3t\\y = -4t\end{cases}\quad (t \in\Bbb R)$

Gọi $d$ là đường thẳng qua $P$ và vuông góc $\Delta$

$\Rightarrow d$ nhận VTCP $\overrightarrow{u}=(3;-4)$ của $\Delta$ làm VTPT

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $P(3;-2)$ và nhận $\overrightarrow{u}=(3;-4)$ làm VTPT có dạng:

$d: 3(x-3) - 4(y+2) = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 4y - 17 =0$

Hình chiếu $H$ của $P$ lên $\Delta$ chính là giao điểm của $d$ và $\Delta$

Tọa độ $H$ là nghiệm của hệ:

$\quad\begin{cases}x = 1 + 3t\\y = -4t\\3x - 4y - 17 =0\end{cases}$

$\Leftrightarrow 3(1+3t) - 4.(-4t) - 17 = 0$

$\Leftrightarrow 25t - 14 = 0$

$\Leftrightarrow t = \dfrac{14}{25}$

$\Rightarrow H\left(\dfrac{67}{25};-\dfrac{56}{25}\right)$

Khi đó, $P'$ đối xứng $P$ qua $\Delta \Leftrightarrow P'$ đối xứng $P$ qua $H$

$\Rightarrow \begin{cases}x_{P'} = 2x_H - x_P\\y_{P'} = 2y_H - y_P\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_{P'} = 2\cdot \dfrac{67}{25} - 3 = \dfrac{59}{25}\\y_{P'} = 2\cdot \left(-\dfrac{56}{25}\right) + 2 = -\dfrac{68}{25}\end{cases}$

Vậy $P'\left(\dfrac{59}{25};-\dfrac{68}{25}\right)$