a, Gọi tâm đường tròn đường kính AB là O

Xét (O) có: Ax là tiếp tuyến, A là tiếp điểm ⇒ AB ⊥ AI ⇒ $\widehat{IAB}=90°$

Xét (O), đường kính AB có: M ∈ (O)

⇒ $\widehat{AMB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AM ⊥ IB ⇒ $\widehat{AMI}=90°$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔIAB vuông tại A ($\widehat{IAB}=90°$), AM ⊥ IB (cmt) có: IA²=IM.IB

b, Xét (O) có:

+ $\widehat{IAE}=\widehat{ABE}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn $\overparen{AE}$)

+ $\widehat{EAM}=\widehat{EBM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{AE}$)

Mà $\widehat{IAE}=\widehat{EAM}$ (AE là phân giác $\widehat{IAM}$)

⇒ $\widehat{ABE}=\widehat{EBM}$ Hay $\widehat{ABE}=\widehat{EBF}$

⇒ BE là phân giác $\widehat{ABF}$

Xét (O), đường kính AB có: E ∈ (O)

⇒ $\widehat{AEB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ BE ⊥ AE

Xét ΔBAF có: 

BE là đường cao (BE ⊥ AE)

BE là phân giác (cmt)

⇒ ΔBAF cân tại B

c, Xét ΔAHK có:

AE là đường cao (BE ⊥ AE)

AE là phân giác (gt)

⇒ ΔAHK cân tại A ⇒ AH = AK (1)

Có ΔBAF cân tại B (cmt) ⇒ AB = BF

Xét ΔABH và ΔFBH có:

AB = FB (cmt)

$\widehat{ABH}=\widehat{FBH}$ ($\widehat{ABE}=\widehat{EBF}$)

HB: cạnh chung

⇒ ΔABH = ΔFBH  (c.g.c)

⇒ AH = HF (các cạnh tương ứng)(2)

Xét ΔAHF và ΔAKF có:

AH = AK (cmt)

$\widehat{FAH}=\widehat{FAK}$ (AF là phân giác $\widehat{HAK}$)

AF: cạnh chung

⇒ ΔAHF = ΔAKF (c.g.c)
⇒ HF = FK (các cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ AH = AK = FH = FK ⇒ Tứ giác AHFK là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

d, AHFK là hình thoi  (cmt) ⇒ FK // AH ⇒ FK // AI 

Xét tứ giác FKAI có: FK // AI (cmt)

⇒ Tứ giác FKAI là hình thang

Mà FKAI là nội tiếp đường tròn

⇔ Tứ giác FKAI là hình thang cân

⇔ $\widehat{FIA}=\widehat{KAI}$

Hay $\widehat{MIA}=\widehat{IAM}$

Mà $\widehat{AMI}=90°$ (cmt)

⇔ ΔAIM vuông cân tại M

⇔ $\widehat{IAM}=45°$ 

Xét (O) có: $\widehat{IAM}=\widehat{ABM}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{AM}$)

⇒ $\widehat{ABM}=45°$ 

Mà $\widehat{AMB}=90°$ (cmt)

⇔ ΔAMB vuông cân tại M

⇔ M nằm chính giữa cung $\overparen{AB}$