Lời giải:

Dễ dàng chứng minh được:

$BCEF$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{EBC}=\widehat{EFC}$

$ACDF$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{CFD}$

mà $\widehat{EBC}=\widehat{CAD}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

nên $\widehat{EFC}=\widehat{CFD}$

$\Rightarrow FC$ là phân giác trong của $\widehat{DFE}$

Ta lại có:

$BF\perp FC\quad (CF\perp AB)$

$\Rightarrow FB$ là phân giác ngoài của $\triangle DEF$

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được:

$EB,\ EC$ lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của $\triangle DEF$

Khi đó:

Do $FB\cap EB= B$

$\Rightarrow B$ là tâm đường tròn bàng tiếp $\triangle DEF$

Lại có: $BM\perp EF$

$\Rightarrow EM$ là tiếp tuyến của $(B)$ tại $M$

$\Rightarrow 2EM = P_{DEF}$ (tính chất tiếp tuyến đường tròn bàng tiếp)

Tương tự:

$C$ là tâm đường tròn bàng tiếp $\triangle DEF$ và $FN$ là tiếp tuyến tại $N$

$\Rightarrow 2FN = P_{DEF}$

Ta được:

$\quad 2EM + 2FN = 2P_{DEF}$

$\Leftrightarrow EM + FN = EF + DE + DF$

$\Leftrightarrow EF + FM + EF + EN = EF + DE + DF$

$\Leftrightarrow EF + FM + EN = DE + DF$

$\Leftrightarrow MN = DE + DF$