*Lời giải :

`a)`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2 + AC^2 = BC^2` (Pitago)

`-> AC^2 = BC^2 - AB^2`

`-> AC^2 = 15^2 - 9^2`

`-> AC^2 = 12^2`

`-> AC = 12cm`

`b)`

Vì `AM` là đường trung tuyến trong `ΔABC`

`-> M` là trung điểm của `BC`

Xét `ΔMAB` và `ΔMDC` có :

`BM = CM` (Vì `M` là trung điểm của `BC`)

`MD = MA (GT)`

`hat{AMB} = hat{CMD}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔMAB = ΔMDC (c.g.c)`

`c)`

Vì `ΔMAB = ΔMDC (cmt)`

`-> AB = DC` (2 cạnh tương ứng)

`-> hat{ABM} = hat{MCD}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le tròn

$→ AB//DC$

mà `AB⊥AC`

`-> DC⊥AC`

Xét `ΔABK` và `ΔCDK` cso :

`hat{BAK} = hat{DCK}=90^o`

`AB = DC (cmt)`

`AK = KC` (Vì `K` là trung điểm của `AC`)

`-> ΔABK = ΔCDK (c.g.c)`

`-> BK = DK` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔBDK` cân tại `K`

`d)`

Dễ dàng chứng minh được `ΔBMD = ΔCMA (c.g.c)`

`-> BD = AC`

Vì `AB = DC`

`-> ABCD` là hình chữ nhật

`-> AC > DC`

`-> hat{MDC} > hat{MAC}`

mà `hat{MAB} = hat{MDC}` (Vì `ΔMAB = ΔMDC`)

`-> hat{MAB} > hat{MAC}`

`e)`

Vì `K` là trung điểm của `AC`

`-> BK` là đường trung tuyến trong `ΔABC`

Xét `ΔABC` có :

`AM` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`BK` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`AM` cắt `BK` tại `N`

`-> N` là trọng tâm của `ΔABC`

`-> CE` là đường trung tuyến

`-> CE` đi qua `N`

`-> E,N,C` thẳng hàng