`x^2-(m+5)x+3m+6=0`

Ta có  `\Delta=(m+5)^2-4.(3m+6)`

`=>m^2+10m+25-12m-24`

`=>m^2-2m+1`

`=>(m-1)^2>=0∀m`

`=>` Phương trình luôn có 2 nghiệm `x_1` và `x_2`

Để phương trình có 2 nghiệm `x_1` và `x_2` phân biệt thì

`(m-1)^2>0`

`=>m\ne 1`

Theo hệ thức vi-ét

$\Rightarrow \begin{cases}x_1+x_2=m+5\\x_1.x_2=3m+6\\\end{cases}$ `(**)`

Do `x_1` và `x_2` là độ dài 2 cạnh của hình chữ có đường chéo bằng `5`

`=>` `x_1` và `x_2` là độ dài 2 cạnh tam giác vuông có cạnh huyên bằng `5`

Theo định lý Py-ta-go

`=>(x_1)^2+(x_2)^2=25`

Hay `(x_1)^2+2x_2x_2+(x_2)^2-2x_1.x_2=25`

`=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=25` `(1)`

Thay `(**)` vào `(1)`

`=>(m+5)^2-2.(3m+6)=25`

`=>m^2+10m+25-6m-12=25`

`=>m^2+4m-12=0`

`\Delta'=2^2-(-12)=16`

`=>\sqrt{\Delta'}=\sqrt{16}=4`

`=>m_1=\frac{-2+4}{1}=2(TM)`

`m_2=\frac{-2-4}{1}=-6(TM)`

Vậy với `m=2` và `m=-6` thì thõa mãn điều kiện đề bài

Đáp án:

$m = -6$ hoặc $m = 2$

Giải thích các bước giải:

$\quad x^2 - (m+5)x + 3m + 6 = 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta> 0$

$\Leftrightarrow (m+5)^2 - 4(3m+6) > 0$

$\Leftrightarrow m^2 - 2m + 1>0$

$\Leftrightarrow (m-1)^2 > 0$

$\Leftrightarrow m\ne 1$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = m+5\\x_1x_2= 3m +6\end{cases}$

$Ycbt \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2= 5^2$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - 25= 0$

$\Leftrightarrow (m+5)^2 - 2(3m+6)-25 = 0$

$\Leftrightarrow m^2+ 4m - 12= 0$

$\Leftrightarrow (m+6)(m-2)= 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = -6\\m = 2\end{array}\right.\quad (nhận)$

Vậy $m = -6$ hoặc $m = 2$