Đáp án + Giải thích các bước giải:

 `x^2-2mx+4=0`   `(1)`

`a)` Thay `m=3` vào phương trình `(1)` ta có:

`x^2-2.3x+4=0`

`<=>x^2-6x+4=0`

`Delta=(-6)^2-4.1.4=20>0`

`=>\sqrt{Δ}=2\sqrt{5}`

Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

`x_1=frac{6+2\sqrt{5}}{2}=3+\sqrt{5}`

`x_2=frac{6-2\sqrt{5}}{2}=3-\sqrt{5}`

Vậy khi `m=3` thì phương trình `(1)` có nghiệm `S={3±\sqrt{5}}`

`b)` `Delta=(-2m)^2-4.1.4`

`=4m^2-16`

Để phương trình luôn có 2 nghiệm `x_1;x_2` thì: `Delta\geq0`

`<=>4m^2-16\geq0`

`<=>(2m-4)(2m+4)\geq0`

`<=>` $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m-4\geq0\\2m+4\geq0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2m-4\leq0\\2m+4\leq0\end{array} \right.\end{array} \right.$`<=>`$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m\geq2\\m\geq-2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m\leq2\\m\leq-2\end{array} \right.\end{array} \right.$`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m\geq2\\m\leq-2\end{array} \right.\) 

Vậy khi `m\geq2` hoặc `m\leq-2` thì phương trình luôn có 2 nghiệm `x_1;x_2`

+) Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=4\end{cases}$

+) Lại có: `(x_1+1)^2+(x_2+1)^2=2`

`<=>x_1^2+2x_1+1+x_2^2+2x_2+1=2`

`<=>(x_1^2+x_2^2)+(2x_1+2x_2)+2=2`

`<=>(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)+2(x_1+x_2)=2-2`

`<=>[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+2(x_1+x_2)=0`

`=>[(2m)^2-2.4]+2(2m)=0`

`<=>4m^2-8+4m=0`

`<=>4(m^2+m-2)=0`

`<=>m^2+2m-m-2=0`

`<=>m(m+2)-(m+2)=0`

`<=>(m+2)(m-1)=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m+2=0\\m-1=0\end{array} \right.\)`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=-2(\text{tmđk})\\m=1(\text{ktmđk})\end{array} \right.\) 

Vậy khi `m=-2` thì phương trình `(1)` có 2 nghiệm `x_1;x_2` thoả mãn `(x_1+1)^2+(x_2+1)^2=2`