Bạn đánh sai chính tả nhiều quá nên mình sẽ hiểu như đề trong ảnh cuối bài

a, ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ $\widehat{BAC}=90°$ Hay $\widehat{IAK}=90°$

Xét (O), đường kính BH có: I ∈ (O) (gt) ⇒ $\widehat{BIH}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ IH ⊥ AB ⇒ $\widehat{HIA}=90°$

Xét (O'), đường kính HC có: K ∈ (O) (gt) ⇒ $\widehat{CKH}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ HK ⊥ AC ⇒ $\widehat{HKA}=90°$

Xét tứ giác AKHI có:

$\widehat{IAK}=90°$ (cmt)

$\widehat{HIA}=90°$ (cmt)

$\widehat{HKA}=90°$ (cmt)

⇒ Tứ giác AKHI là hình chữ nhật (Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b, Tứ giác AKHI là hình chữ nhật (cmt)

⇒ Tứ giác AKHI là tứ giác nội tiếp

⇒ $\widehat{AKI}=\widehat{AHI}$

AH ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$ Hay $\widehat{AHO}=\widehat{AHO'}=90°$

Xét ΔAHI vuông tại I ($\widehat{HIA}=90°$) có: 

$\widehat{HAI}+\widehat{AHI}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\widehat{HAB}+\widehat{AHI}=90°$

Xét ΔAHB vuông tại H ($\widehat{AHB}=90°$) có: 

$\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Mà $\widehat{HAB}+\widehat{AHI}=90°$ (cmt)

⇒ $\widehat{AHI}=\widehat{HBA}$ Hay $\widehat{AHI}=\widehat{IBC}$

Mà $\widehat{AKI}=\widehat{AHI}$ (cmt)

⇒ $\widehat{AKI}=\widehat{IBC}$

Có $\widehat{AKI}+\widehat{IKC}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{IBC}+\widehat{IKC}=180°$

Xét tứ giác BIKC có: $\widehat{IBC}+\widehat{IKC}=180°$ (cmt)

⇒ Tứ giác BIKC là tứ giác nội tiếp

c, AKHI là hình chữ nhật (cmt)

AH là đường chéo ⇒ AH là phân giác $\widehat{IHK}$ ⇒ $\widehat{IHA}=\widehat{AHK}=45°$

IK là đường chéo ⇒ IK là phân giác $\widehat{AKH}$ ⇒ $\widehat{AKI}=\widehat{IKH}=45°$

Xét (O') có: O'H = O'K (cùng là bán kính của (O')

Xét ΔO'HK có: O'H = O'K (cmt)

⇒ ΔO'HK cân tại O'

⇒ $\widehat{O'HK}=\widehat{O'KH}$

Có $\widehat{AHK}+\widehat{KHO'}=\widehat{AHO'}=90°$

Mà $\widehat{O'HK}=\widehat{O'KH}$ (cmt), $\widehat{IKH}=\widehat{AHK}=45°$

⇒ $\widehat{IKH}+\widehat{HKO'}=90°$

⇒ $\widehat{IKO'}=90°$ ⇒ O'K ⊥ IK

Xét (O') có:

K ∈ (O')(gt)

O'K ⊥ IK (cmt)

⇒ IK là tiếp tuyến của (O'), K là tiếp điểm

AKHI là hình chữ nhật (cmt)

IK là đường chéo ⇒ IK là phân giác $\widehat{HIK}$ ⇒ $\widehat{HIK}=\widehat{KIA}=45°$

Xét (O) có: OH = OI (cùng là bán kính của (O)

Xét ΔOHI có: OH = OI (cmt)

⇒ ΔOHI cân tại O

⇒ $\widehat{OHI}=\widehat{OIH}$

Có $\widehat{AHI}+\widehat{IHO}=\widehat{AHO}=90°$

Mà $\widehat{OHI}=\widehat{OIH}$ (cmt), $\widehat{IHA}=\widehat{KIH}=45°$

⇒ $\widehat{KIH}+\widehat{HIO}=90°$

⇒ $\widehat{OIK}=90°$ ⇒ OI ⊥ IK

Xét (O) có:

I ∈ (O)(gt)

OI ⊥ IK (cmt)

⇒ IK là tiếp tuyến của (O), I là tiếp điểm

Mà IK là tiếp tuyến của (O'), K là tiếp điểm (cmt)

⇒ IK là tiếp tuyến chung của (O) và (O')