Đáp án:

$d(B;(SAC))= \dfrac{3a\sqrt{13}}{13}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow\begin{cases}AM\perp BC\\SM\perp BC\end{cases}$

Ta có:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC)= BC\\AM\perp BC\\AM\subset (ABC)\\SM\perp BC\\SM\subset (SBC)\end{cases}$

$\Rightarrow ((SBC);(ABC))=\widehat{SMA}= 60^\circ$

Ta lại có: $SM = AM =\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow \triangle SAM$ đều cạnh $\dfrac{a\sqrt3}{2}$

Mặt khác:

$\begin{cases}SM\perp BC\\AM\perp BC\\SM\cap AM=\{M\}\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SMA)$

Trong $mp(SMA)$ kẻ $SH\perp AM$

$\Rightarrow BC\perp SH$

$\Rightarrow SH\perp (ABC)$

mà $SH$ là đường cao trong $\triangle SAM$ đều

nên $SH = \dfrac{AM\sqrt3}{2} = \dfrac{3a}{4}$

Khi đó:

$\quad V_{S.ABC}=\dfrac13S_{ABC}.SH$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC}=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{4}$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC}=\dfrac{a^3\sqrt3}{16}$

Xét $\triangle SAC$ cân tại $C$

Kẻ đường cao $CK$

$\Rightarrow AK = SK =\dfrac12SA =\dfrac{a\sqrt3}{4}$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad AC^2 = CK^2 + AK^2$

$\Rightarrow CK =\sqrt{AC^2 - AK^2}$

$\Leftrightarrow CK =\sqrt{a^2 - \dfrac{3a^2}{16}}$

$\Leftrightarrow CK =\dfrac{a\sqrt{13}}{4}$

Ta được:

$\quad S_{SAC}= \dfrac12AC.CK$

$\Leftrightarrow S_{SAC}=\dfrac12\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{13}}{4}$

$\Leftrightarrow S_{SAC}=\dfrac{a^2\sqrt{39}}{16}$

Khi đó ta được:

$\quad V_{S.ABC}= V_{B.SAC}=\dfrac13S_{SAC}.d(B;(SAC))$

$\Leftrightarrow d(B;(SAC))=\dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{SAC}}$

$\Leftrightarrow d(B;(SAC))=\dfrac{3\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{16}}{\dfrac{a^2\sqrt{39}}{16}}$

$\Leftrightarrow d(B;(SAC))= \dfrac{3a\sqrt{13}}{13}$