Lời giải:

Ta có:

$IB = IC\quad (\triangle IBC$ cân tại $I)$

$OB = OC= R$

$\Rightarrow OI$ là trung trực $BC$

$\Rightarrow ID$ là trung trực $BC$

$\Rightarrow BD = DC$

$\Rightarrow \mathop{DB}\limits^{\displaystyle\frown}= \mathop{DC}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\Rightarrow \widehat{BAD}= \widehat{CAD}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}= 2\widehat{CAD}\quad (1)$

Mặt khác:

$AE = AC\quad (gt)$

$\Rightarrow \triangle AEC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{CAB}= 2\widehat{ACE}\quad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{ACE}$

$\Rightarrow AD//CE$

Ta lại có:

$\widehat{IAD}= 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow IA\perp AD$

Do đó: $IA\perp EC$

Đáp án:
Gọi giao điểm của IA và EC là H

Ta có
Góc EAH = góc IAB ( đối đỉnh)
Góc IAB = góc ICB ( cùng chắn cung BC)
Góc ICB = góc IBC ( tam giác IBC cân tại I)
Góc IBC = góc CAH ( góc ngoài tứ giác nội tiếp IBCA )
=> góc EAH = góc CAH
=>AH là tia phân giác góc CAE
Xét tam giác CAE cân tại A ( AE=AC )
có AH là tia phân giác góc CAE 
=>AH là đường cao tam giác CAE tại đỉnh A
=>AH vuông góc EC
Hay AI vuông góc EC ( đpcm)