a, P là điểm chính giữa nửa đường tròn (gt)

⇒ $\overparen{MP}=\overparen{NP}$

⇒ MP = NP

Xét (I) , MN là có : P ∈ (I) 

⇒ $\widehat{MPN}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ NP ⊥ MS ⇒ $\widehat{NPS}=90°$

Xét ΔMPN có: $\widehat{MPN}=90°$ (cmt)

⇒ ΔMPN vuông tại P

Mà MP = NP (cmt)

⇒ ΔMPN vuông cân tại P

⇒ $\widehat{NMP}=\widehat{MNP}=45°$

Hay $\widehat{NMS}=\widehat{MNP}=45°$

 Xét (I) có: Nx là tiếp tuyến, N là tiếp điểm

⇒ IN ⊥ NS ⇒ NM ⊥ SN ⇒ $\widehat{MNS}=90°$ Hay $\widehat{MNT}=90°$

Có $\widehat{PNM}+\widehat{PNS}=\widehat{MNS}$

⇒ $\widehat{PNS}=\widehat{MNS}-\widehat{PNM}$

Hay $\widehat{PNS}=90°-45°=45°$

Xét ΔNPS có: $\widehat{NPS}=90°$ (cmt)

⇒ ΔNPS vuông tại P

⇒ $\widehat{PNS}+\widehat{PSN}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $45°+\widehat{PSN}=90°$

⇒ $\widehat{PSN}=90°-45°=45°$

Hay $\widehat{MSN}=45°$

Xét ΔMNS có:

$\widehat{SNM}=90°$ (cmt)

$\widehat{MSN}=\widehat{NMS}=45°$

⇒ ΔMNS vuông cân N

⇒ NS = MN

b, Xét (I) , MN là có : Q ∈ (I) 

⇒ $\widehat{MQN}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ NQ ⊥ MT ⇒ $\widehat{NQT}=90°$

Xét ΔMNT và ΔNQT có:

$\widehat{MNT}=\widehat{NQT}=90°$

$\widehat{MTN}$: góc chung

⇒ ΔMNT ~ ΔNQT (g.g)

c, Xét (I) có: $\widehat{PQM}=\widehat{PNM}$ (hai góc nội tiếp chắn cung $\overparen{MP}$)

Có $\widehat{PNM}=\widehat{PSN}=45°$

⇒ $\widehat{PQM}=\widehat{PSN}$

Hay $\widehat{PQM}=\widehat{PST}$

Có $\widehat{PQM}+\widehat{PQT}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{PST}+\widehat{PQT}=180°$

Xét tứ giác PQTS có: $\widehat{PST}+\widehat{PQT}=180°$ (cmt)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác PQTS nội tiếp một đường tròn