Lời giải:

Ta có: $D$ là điểm chính giữa $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$ lớn $(gt)$

$\Rightarrow \mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}= \mathop{BD}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\Rightarrow \widehat{AFD}=\widehat{BFD}$ (góc nội tiếp tương ứng)

$\Rightarrow FD$ là phân giác của $\widehat{AFB}$

hay $FI$ là phân giác của $\widehat{AFB}$ trong $\triangle AFB$

$\Rightarrow \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{FA}{FB}\quad (1)$

Xét $\triangle PAF$ và $\triangle PFB$ có:

$\begin{cases}\widehat{P}:\ \text{góc chung}\\\widehat{PFA}=\widehat{PBF}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\end{cases}$

Do đó: $\triangle PAF\backsim \triangle PFB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{FA}{FB}=\dfrac{PF}{PB}\quad (2)$

Xét $\triangle PAE$ và $\triangle PEB$ có:

$\begin{cases}\widehat{P}:\ \text{góc chung}\\\widehat{PEA}=\widehat{PBE}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\end{cases}$

Do đó: $\triangle PAE\backsim \triangle PEB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{PE}{PB}\quad (3)$

Ta lại có:

$PE,\ PF$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $E,\ F\quad (gt)$

$\Rightarrow PE = PF\qquad (4)$

Từ $(1)(2)(3)(4)\Rightarrow \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{EA}{EB}$

$\Rightarrow IA.EB = IB.EA$