1) Xét (O), có:

+ AM là tiếp tuyến, M là tiếp điểm ⇒ OM ⊥ AM ⇒ $\widehat{AMO}=90°$

+ AN là tiếp tuyến, N là tiếp điểm ⇒ ON ⊥ AN ⇒ $\widehat{ANO}=90°$

Có $\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90°$

⇒ Hai điểm M và N cùng nhìn AO dưới một góc vuông

⇒ Hai điểm M và N cùng thuộc đường tròn đường kính AO

⇒ Bốn điểm A, M, O, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO

2) Xét (O) có:

AM, AN là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A

M và N là hai tiếp điểm

⇒ AM = AN, AO là phân giác $\widehat{MAN}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét ΔAMN có: AM = AN (cmt)

⇒ ΔAMN cân tại A

Mà AO là phân giác $\widehat{MAN}$ (cmt)

⇒ MN ⊥ AO tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔAOM vuông tại M ( $\widehat{AMO}=90°$), MH ⊥ AO (MN ⊥ AO tại H) có: 

AM² = AH . AO

Xét (O) có: $\widehat{AMB}=\widehat{MCB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{BM}$)

Hay $\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$

Xét ΔAMB và ΔACM có:

$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ (cmt)

$\widehat{MAC}$: góc chung

⇒ ΔAMB ~ ΔACM (g.g)

⇒ $\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AM}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AM² = AB . AC

 Mà AM² = AH . AO (cmt)

⇒ AB . AC = AH . AO

Trả lời bạn manhxuan. Bạn tự vẽ hình nhé vì hình này chỉ theo phần bạn đặt câu hỏi thôi.

Gọi I là trung điểm của BC, kéo dài OI cắt MN tại K

Xét (O) có :

BC là dây không đi qua tâm, I là trung điểm của BC

⇒ OI ⊥ BC ⇒ $\widehat{OIA}=90°$

AO ⊥ MN tại H ⇒ $\widehat{OHM}=90°$ Hay $\widehat{OHK}=90°$

Xét ΔAOI và ΔOHK có:

$\widehat{AOK}$: góc chung

$\widehat{OIA}=\widehat{OHK}=90°$

⇒ ΔAOI ~ ΔKOH (g.g)

⇒ $\frac{OA}{OK}=\frac{OI}{OH}$ (các cặp cạnh tương ứng)

⇒ OA.OH = OI.OK

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔAMO vuông tại M ($\widehat{AMO}=90°$), MH ⊥ OA (MN ⊥ OA) có: OM²=OA.OH

⇒ OA.OH=R²

Mà OA.OH = OI.OK (cmt)

⇒ OI.OK = R²

⇒ $OK=\frac{R²}{OI}$ 

Mà BC cố định ⇒ I cố định ⇒ OI không đổi mà R không đổi

⇒ OK không đổi ⇒ K cố định

⇒ Khi A thay đổi trên tia đối của tia BC đường thẳng MN luôn đi qua điểm K cố định