Lời giải:

a) Xét tứ giác $BHMK$ có:

$\widehat{H}=\widehat{K}=90^\circ\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{H} +\widehat{K}=180^\circ$

Do đó $BHMK$ là tứ giác nội tiếp

b)Xét tứ giác $CHMI$ có:

$\widehat{H}=\widehat{I}=90^\circ\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{H} +\widehat{I}= 180^\circ$

Do đó $CHMI$ là tứ giác nội tiếp

c) Ta có:

$BHMK$ là tứ giác nội tiếp (câu a)

$\Rightarrow \widehat{MKH}=\widehat{MBH}\quad (1)$

Bên cạnh đó:

$CHMI$ là tứ giác nội tiếp (câu b)

$\Rightarrow \widehat{MHI}=\widehat{MCI}\quad (2)$

Ta lại có:

$\widehat{MBH}=\widehat{MCI}\quad (3)$ (cùng chắn $\mathop{MC}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{MKH}=\widehat{MHI}$

Hoàn toàn tương tự, ta được:

$\widehat{MHK}=\widehat{MIH}$

Xét $\triangle MHK$ và $\triangle MIH$ có:

$\begin{cases}\widehat{MKH}=\widehat{MHI}\quad (cmt)\\\widehat{MHK}=\widehat{MIH}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó: $\triangle MHK\backsim \triangle MIH\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{MH}{MI}=\dfrac{MK}{MH}$

$\Rightarrow MH^2 = MI.MK$

c) Ta có:

$PB,\ PM$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,\ M$

$\Rightarrow PB = PM$

$QC,\ QM$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $C,\ M$

$\Rightarrow QC = QM$

Khi đó:

$\quad P_{APQ}= AP + PQ + AQ$

$\Leftrightarrow P_{APQ}= AP + PM + QM + AQ$

$\Leftrightarrow P_{APQ}= AP+ PB + QC + AQ$

$\Leftrightarrow P_{APQ}= AB + AC$ (không phụ thuộc $M$)

Đáp án + giải thích các bước giải:

a) `MH⊥BC`

`->\hat{MHB}=90^0`

`MK⊥AB`

`->\hat{MKB}=90^0`

Tứ giác `BHMK` có hai góc ở đỉnh `H,K` đối nhau có tổng bằng `180^0 `

`->BHMK` nội tiếp

b)

`MH⊥BC`

`->\hat{MHC}=90^0`

`MI⊥AC`

`->\hat{MIC}=90^0`

Tứ giác `HMIC` có hai góc ở đỉnh `H,I` đối nhau có tổng bằng `180^0 `

`->HMIC` nội tiếp

c) `BHMK` nội tiếp

`->\hat{MHK}=\hat{MBK}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `MK`)

`HMIC` nội tiếp

`->\hat{MIH}=\hat{MCH}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `HM`)

mà `\hat{MCH}=\hat{MBK}=1/2sđ  \stackrel\frown{BM}` (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) 

`->\hat{MHK}=\hat{MIH}` (1)

`AB=AC` (tính chất tiếp tuyến)

`->ΔABC` cân tại `A`

`->\hat{ABC}=\hat{ACB}`

`BHMK` nội tiếp

`-> \hat{HBK}+\hat{HMK}=180^0`

`HMIC` nội tiếp

`-> \hat{HMI}+\hat{HCI}=180^0`

mà `\hat{HBK}=\hat{HCI} (\hat{ABC}=\hat{ACB})`

`->\hat{HMK}=\hat{HMI}` (2)

Từ (1) và (2), ta có:

`ΔMHK~ΔMIH(gg)`

`->(MH)/(MI)=(MK)/(MH)`

`->MH^2=MI.MK`

d) `MP` và `BP` là hai tiếp tuyến của `(O)`

`->PB=PM` (tính chất tiếp tuyến)

Tương tự có `QM=QC`

Chu vi tam giác `APQ=AP+AQ+PQ=AP+AQ+PM+QM=AP+AQ+PB+QC=AB+AC` (không phụ thuộc `M`)

`->đpcm`