Lời giải:

a) Xét $\triangle AEH$ và $\triangle AHB$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{E}=\widehat{H}= 90^\circ\end{cases}$

Do đó: $\triangle AEH\backsim \triangle AHB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AB}$

$\Rightarrow AH^2 = AE.AB$

b) Xét $\triangle AFH$ và $\triangle AHC$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{F}=\widehat{H}= 90^\circ\end{cases}$

Do đó: $\triangle AFH\backsim \triangle AHC\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AH}{AC}$

$\Rightarrow AH^2 = AF.AC$

Ta lại có: $AH^2 = AE.AB$ (câu a)

$\Rightarrow AE.AB = AF.AC$

c) Ta có:

$AE.AB = AF.AC$ (câu b)

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}$

Xét $\triangle AFE$ và $\triangle ABC$ có:

$\begin{cases}\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\quad (cmt)\\\widehat{A}:\ \text{góc chung}\end{cases}$

Do đó: $\triangle AFE\backsim\triangle ABC\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ACB}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{AEF}=\widehat{MEB}$ (đối đỉnh)

nên $\widehat{MEB}=\widehat{ACB}$

hay $\widehat{MEB}=\widehat{FCM}$

Xét $\triangle MEB$ và $\triangle MCF$ có:

$\begin{cases}\widehat{M}:\ \text{góc chung}\\\widehat{MEB}=\widehat{FCM}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó: $\triangle MEB\backsim \triangle MCF\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{ME}{MC}=\dfrac{MB}{MF}$

$\Rightarrow ME.MF = MB.MC$