`a)` $BE;CF$ là hai đường cao của $∆ABC$

`=>\hat{BEC}=90°; \hat{BFC}=90°`

`=>\hat{BEC}+\hat{BFC}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{BEC};\hat{BFC}` ở vị trí đối nhau 

`=>BFEC` nội tiếp 

`=>\hat{AFE}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

Xét $∆AEF$ và $∆ABC$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{AFE}=\hat{ACB}` (c/m trên)

`=>∆AEF∽∆ABC` (g-g)

`=>{AE}/{AB}={AF}/{AC}`

`=>AF .AB=AE.AC`

$\\$

`b)` $AK$ là đường kính của $(O)$

`=>\hat{ACK}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>KC`$\perp AC$

Mà $BH\perp AC$ (do $BE\perp AC$)

`=>KC`//$BH$ $(1)$

$\\$

`\qquad \hat{ABK}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>KB`$\perp AB$

Mà $CH\perp AB$ (do $CF\perp AB$)

`=>KB`//$CH$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>BHCK` là hình bình hành $(3)$

$\\$

Vì `OI`$\perp BC$ tại $I$ (gt)

`=>I` là trung điểm $BC$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung) $(4)$

Từ `(3);(4)=>I` là trung điểm $HK$ (hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Vậy `H;I;K` thẳng hàng 

$\\$

`c)` $ANBC$ nội tiếp $(O)$

`=>\hat{MNB}=\hat{MCA}` (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)

Xét $∆MNB$ và $∆MCA$ có:

`\qquad \hat{M}` chung

`\qquad \hat{MNB}=\hat{MCA}` (c/m trên)

`=>∆MNB∽∆MCA` (g-g)

`=>{MN}/{MC}={MB}/{MA}`

`=>MN.MA=MB.MC` $(5)$

$\\$

Xét $∆MEB$ và $∆MCF$ có:

`\qquad \hat{M}` chung

`\qquad \hat{MEB}=\hat{MCF}` (do $BFEC$ nội tiếp)

`=>∆MEB∽∆MCF` (g-g)

`=>{ME}/{MC}={MB}/{MF}`

`=>ME.MF=MB.MC` $(6)$

Từ `(5);(6)=>MN.MA=ME.MF`

`=> {MA}/{ME}={MF}/{MN}`

$\\$

Xét $∆MA F$ và $∆MEN$ có:

`\qquad \hat{M}` chung

`\qquad {MA}/{ME}={MF}/{MN}` (c/m trên)

`=>∆MA F∽∆MEN` (c-g-c)

`=>\hat{MAF}=\hat{MEN}`

`=>\hat{NAF}=\hat{FEN}`

`=>` Tứ giác $AEFN$ có $2$ đỉnh $A;E$ cùng nhìn cạnh $NF$ dưới hai góc bằng nhau

`=>AEFN` nội tiếp (*)

$\\$

Xét tứ giác $AEHF$ có:

`\qquad \hat{AFH}+\hat{AEH}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{A FH};\hat{AEH}` ở vị trí đối nhau 

`=>AEHF` nội tiếp (**)

Từ (*);(**) `=>N;A;E;H;F` cùng thuộc $1$ đường tròn 

`=>AEHN` nội tiếp 

`=>\hat{ANH}+\hat{AEH}=180°` (tổng hai góc đối $180°$)

`=>\hat{ANH}=180°-\hat{AEH}=180°-90°=90°`.

`=>AN`$\perp HN$ $(7)$

$\\$

Vì `\hat{ANK}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AN`$\perp KN$ $(8)$

Từ `(7);(8)=>N;H;K` thẳng hàng 

Mà `H;I;K` thẳng hàng (câu b)

`=>N;H;I` thẳng hàng và $IN\perp AM$ tại $N$

$\\$

Xét $∆AMI$ có:

`\qquad ` $IN\perp AM$

`\qquad `$AD\perp MI$

`\qquad IN` cắt $AD$ tại $H$

`=>H` là trực tâm của $∆AMI$

`=>MH`$\perp AI$