Giải thích các bước giải:

1.Xét $\Delta BHD, \Delta CKE$ có:

$\widehat{DHB}=\widehat{CKE}$

$BD=CE$

$\widehat{DBH}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{ECK}$

$\to \Delta BHD=\Delta CKE$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to HB=CK$

b.Từ câu a $\to BH=CK$

Xét $\Delta ABH,\Delta ACK$ có:

$AB=AC$

$\widehat{ABH}=180^o-\widehat{ABC}=180^o-\widehat{ACB}=\widehat{ACK}$

$BH=CK$

$\to \Delta ABH=\Delta ACK(c.g.c)$

$\to \widehat{AHB}=\widehat{AKC}$

3.Ta có: $AD=AB+BD=AC+CE=AE$

$\to \Delta ADE$ cân tại $A$

$\to \widehat{ABC}=90^o-\dfrac12\widehat{BAC}=90^o-\dfrac12\widehat{DAE}=\widehat{ADE}$

$\to BC//DE$

$\to HK//DE$

4.Từ câu 2 $\to\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\to \widehat{DAH}=\widehat{EAK}, AH=AK$

Xét $\Delta AHD, \Delta AEK$ có:

$AD=AB+BD=AC+CE=AE$

$\widehat{DAH}=\widehat{EAK}$

$AH=AK$

$\to \Delta AHD=\Delta AKE(c.g.c)$

5.Xét $\Delta ADC, \Delta AEB$ có:

$AD=AE$

Chung $\hat A$

$AC=AB$

$\to \Delta ADC=\Delta AEB(c.g.c)$

$\to \widehat{ADC}=\widehat{AEB}, \widehat{ACD}=\widehat{ABE}$

$\to \widehat{IDB}=\widehat{IEC}, \widehat{IBD}=180^o-\widehat{ABE}=180^o-\widehat{ACD}=\widehat{ICE}$

Xét $\Delta IBD,\Delta ICE$ có:

$\widehat{IDB}=\widehat{IEC}$

$BD=CE$

$\widehat{IBD}=\widehat{ICE}$

$\to \Delta IBD=\Delta ICE(c.g.c)$

$\to IB=IC$

Mà $AB=AC$

$\to A, I\in$ trung trực $BC$

$\to AI$ là trung trực $BC$

$\to AI\perp BC$

$\to AI\perp DE$ vì $BC//DE$

`GT :`  $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$

          Tia đối $BA$ lấy $D$ 

          Tia đối $CA$ lấy $E$ sao cho $BD = CE$

          $DH ; EK$ $\bot$ $BC$

          $DK$ $\cap$ $EH$ tại $I$
$KL :$ `a) HB = CD`

           `b)` $\widehat{AHB}$ $=$ $\widehat{AKC}$ 

           $c) HK // DE$

           $d)$ $\triangle$ $AHE$ $=$ $\triangle$ $AKD

           $e)$ $AI$ $\bot$ $DE$ 

`1)` Ta có $:$ $\widehat{B1}$ $=$ $\widehat{B2}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

$\widehat{C1}$ $=$ $\widehat{C2}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

Mà $\widehat{B2}$ $=$ $\widehat{C2} ($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

`=>` $\widehat{B1}$ $=$ $\widehat{C1}$

Xét $\triangle$ $BHD$ và $\triangle$ $CKE$ ta có $:$

$\widehat{DHB}$ $=$ $\widehat{EKC}$ $= 90^o ( DH$ $\bot$ $BC ; EK$ $\bot$ $BC )$
$BD = CE ( gt )$
$\widehat{B1}$ $=$ $\widehat{C1}$ $( cmt )$

`=>` $\triangle$ $BHD$ $=$ $\triangle$ $CKE ( ch - gn )$

`=> HB = CK ( 2` cạnh tương ứng $)$

`2)` Ta có $:$ $\widehat{B2}$ $+$ $\widehat{B3}$ $= 180^o ( 2$ góc kề bù $)$

$\widehat{C2}$ $+$ $\widehat{C3}$ $= 180^o ( 2$ góc kề bù $)$

Mà $\widehat{B2}$ $=$ $\widehat{C2} ( cmt )$

`=>` $\widehat{C3}$ $=$ $\widehat{B3}$

Xét $\triangle$ $ABH$ và $\triangle$ $ACK$ ta có $:$

$AB = AC ($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

$\widehat{C3}$ $=$ $\widehat{B3} ( cmt )$

$HB = CK ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $ABH$ $=$ $\triangle$ $ACK ( c - g - c )$

`=>` $\widehat{AHB}$ $=$ $\widehat{AKC}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

`3)` Ta có $: AB + BD = AD$

$AC + CE = AE$

Mà $AB = AC ( cmt )$

$BD = CE ( gt )$

`=> AD = AE`

`=>` $\triangle$ $ADE$ cân tại $A ( dhnb )$

`=>` $\widehat{ADE}$ `= ( 180 - \hat{BAC} )/2 (` tính chất $\triangle$ cân $) (1)$

Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A ( gt )$

`=>` $\widehat{B2}$ `= ( 180 - \hat{BAC} )/2 (` tính chất $\triangle$ cân $) (2)$

Từ $(1) ; (2)$

`=>`  $\widehat{B2}$ $=$ $\widehat{ADE}$ `( = ( 180 - \hat{BAC} )/2 )`

Mà $2$ góc này ở vị trí đồng vị

`=>` $BC // DE ( dhnb )$

Hay $HK // DE$

`4)` Ta có $:$ $\widehat{A1}$ $+$ $\widehat{BAC}$ $=$ $\widehat{HAC}$

$\widehat{A2}$ $+$ $\widehat{BAC}$ $=$ $\widehat{KAB}$

Mà $\widehat{A1}$ $=$ $\widehat{A2} ($ vì $\triangle$ $ABH$ $=$ $\triangle$ $ACK )$

$\widehat{BAC}$ chung

`=>` $\widehat{HAC}$ $=$ $\widehat{KAB}$

Xét $\triangle$ $AHE$ và $\triangle$ $AKD$ ta có $:$

$AH = AK ($ vì $\triangle$ $ABH$ $=$ $\triangle$ $ACK )$

$\widehat{HAC}$ $=$ $\widehat{KAB}$

$AE = AD ($ vì $\triangle$ $ADE$ cân tại $A )$

`=>` $\triangle$ $AHE$ $=$ $\triangle$ $AKD ( c - g - c )$

`5)` Xét $\triangle$ $DHK$ và $\triangle$ $EKH$ ta có $:$

$\widehat{DHK}$ $=$ $\widehat{EKH}$ $ (DH$ $\bot$ $BC ; EK$ $\bot$ $BC )$

$HK$ chung

$DH = EK ($ vì $\triangle$ $BHD$ $=$ $\triangle$ $CKE )$

`=>` $\triangle$ $DHK$ $=$ $\triangle$ $EKH ( cgv - cgv )$

`=>` $\widehat{H1}$ $=$ $\widehat{K1}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

`=>` $\triangle$  $IHK$ cân tại $I ( dhnb )$

Xét $\triangle$  $AIH$ và $\triangle$  $AIK$ ta có $:$

$AI$ chung

$IH = IK ($ vì $\triangle$  $IHK$ cân tại $I )$

$AH = AK ( cmt )$

`=>` $\triangle$  $AIH$ $=$ $\triangle$  $AIK ( c - c - c )$

Ta có $:$ $\widehat{A1}$ $+$ $\widehat{A3}$ $=$ $\widehat{HAI}$ 

$\widehat{A2}$ $+$ $\widehat{A4}$ $=$ $\widehat{KAI}$

Mà $\widehat{A1}$ $=$ $\widehat{A4}$ 

$\widehat{HAI}$  $=$ $\widehat{KAI}$

`=>` $\widehat{A3}$ $=$ $\widehat{A4}$

`=> AI` là tia phân giác của $\widehat{DAE}$

Mà  $\triangle$ $ADE$ cân tại $A ( cmt )$

`=> AI` đồng thời là đương cao của $\triangle$ $ADE ($ tính chất $\triangle$ cân $)$

`=> AI` $\bot$ $DE$