a)

Ta có $\Delta ABH$ vuông tại $H$ với trung tuyến $HM$

$\to MA=MH$

Ta có $\Delta ACH$ vuông tại $H$ với trung tuyến $HN$

$\to NA=NH$

$\to MN$ là đường trung trực của $AH$

b)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

$\to BC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Ta có $AB.AC=AH.BC$ (hệ thức lượng)

$\to AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{ab}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$

Ta có $\Delta ABH$ vuông tại $H$ với trung tuyến $HM$

$\to HM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$

Vì $MN$ là đường trung trực của $AH$

Và $I$ là giao điểm $MN$ và $AH$

Nên $I$ là trung điểm $AH$

$\to HI=AI=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{ab}{2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$

c)

Ta có $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$

Nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\to MN=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{2}$

Diện tích $\Delta MHN$:

${{S}_{\Delta MHN}}=\dfrac{1}{2}HI\cdot MN=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{ab}{2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cdot \dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{2}=\dfrac{ab}{4}$