a, Xét (O), đường kính AB có: D ∈ (O) (gt)

⇒ $\widehat{ADB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay $\widehat{EDB}=90°$

CH ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{CHA}=\widehat{CHB}=90°$ Hay $\widehat{AHE}=\widehat{EHB}=90°$

Xét tứ giác EHBD có: $\widehat{EHB}+\widehat{EDB}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác EHBD nội tiếp đường tròn đường kính EB

b, Xét ΔAEH và ΔABD có:

$\widehat{AHE}=\widehat{ADB}=90°$

$\widehat{DAB}$: góc chung

⇒ ΔAEH ~ ΔABD (g.g)

⇒ $\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AE.AD=AB.AH

⇒ AE.AD+BH.BA=AB.AH+BH.BA

⇒ AE.AD+BH.AB=AB.(AH+HB)

⇒ AE.AD+BH.AB=AB.AB

⇒ AE.AD+BH.AB=AB²

c, Có EF // AB (gt), CH ⊥ AB (gt)

⇒ CH ⊥ EF ⇒ $\widehat{CEF}=90°$

Có: EF // AB (gt) ⇒ $\widehat{CFE}=\widehat{CBA}$ (hai góc đồng vị)

Xét (O) có: $\widehat{CDA}=\widehat{CBA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{AC}$)

⇒ $\widehat{CFE}=\widehat{CDA}$ Hay $\widehat{CFE}=\widehat{CDE}$

Xét tứ giác CDFE có: $\widehat{CFE}=\widehat{CDE}$ (cmt)

Hai đỉnh F và D kề nhau cùng nhìn CE dưới hai góc α bằng nhau

⇒ Tứ giác FECD nội tiếp đường tròn đường kính CF

⇒ $\widehat{CEF}+\widehat{CDF}=180°$ (hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Hay $90°+\widehat{CDF}=180°$

⇒ $\widehat{CDF}=180°-90°=90°$

Gọi I là trung điểm của CF

Mà tứ giác FECD nội tiếp đường tròn đường kính CF (cmt)
⇒ IC = ID = IE = IF

Xét ΔICD có: IC = ID (cmt)

⇒ ΔICD cân tại C ⇒ $\widehat{ICD}=\widehat{IDC}$

⇒ $\widehat{DIC}=180°-(\widehat{ICD}+\widehat{IDC})=180°-2\widehat{ICD}$

Có $\widehat{BID}+\widehat{DIC}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒$\widehat{BID}=180°-\widehat{DIC}$

⇒$\widehat{BID}=180°-(180°-2\widehat{ICD})$

⇒$\widehat{BID}=180°-180°+2\widehat{ICD}$

⇒$\widehat{BID}=2\widehat{ICD}$

Hay $\widehat{BID}=2\widehat{BCD}$

Xét (O) có:

$\widehat{BOD}=sđ\overparen{BD}$ (góc ở tâm chắn cung $\overparen{BD})$

$\widehat{BCD}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BD}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{BD})$

⇒ $\widehat{BOD}=2\widehat{BCD}$

Mà $\widehat{BID}=2\widehat{BCD}$ (cmt)

⇒ $\widehat{BOD}=\widehat{BID}$

Xét tứ giác BOID có: $\widehat{BOD}=\widehat{BID}$ (cmt)

Hai đỉnh O và I kề nhau cùng nhìn BD dưới hai góc α bằng nhau

⇒ Tứ giác BOID nội tiếp đường tròn

⇒ Bốn điểm B, O, I, D cùng thuộc đường tròn

⇒ Đường tròn ngoại tiếp ΔBOD đi qua trung điểm I của CF