`a)` $MD\perp BC$ tại $D$ (gt)

`=>\hat{MDC}=90°`

$\quad ME\perp AC$ tại $E$

`=>\hat{MEC}=90°`

`=>\hat{MDC}+\hat{MEC}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{MDC};\hat{MEC}` ở vị trí đối nhau 

`=>CDME` nội tiếp 

$\\$

`b)` $(O)$ tiếp xúc $Ax;Ay$ lần lượt tại $B;C$

`=>AB;AC` là hai tiếp tuyến của $(O)$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau 

`=>AB=AC`

`=>∆ABC` cân tại $A$

Mà `\hat{BAC}=60°` (do `\hat{xAy}=60°`)

`=>∆ABC` đều

`=>\hat{ABC}=60°`

$\\$

 $\quad MD\perp BC$ tại $D$ (gt)

`=>\hat{MDB}=90°`

$\quad MF\perp AB$ tại $F$

`=>\hat{MFB}=90°`

`=>\hat{MDB}+\hat{MFB}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{MDB};\hat{MFB}` ở vị trí đối nhau 

`=>BDMF` nội tiếp 

`=>\hat{MDF}=\hat{MBF}` (cùng chắn cung $MF$)

$\\$

`\qquad CDME` nội tiếp 

`=>\hat{MCE}=\hat{MDE}` (cùng chắn cung $ME$)

Mà `\hat{MCE}=\hat{MBD}` (cùng chắn cung $MC$ của $(O)$)

`=>\hat{MDE}=\hat{MBD}`

$\\$

`=>\hat{EDF}=\hat{MDE}+\hat{MDF}`

`=\hat{MBD}+\hat{MBF}=\hat{DBF}=\hat{ABC}=60°`

Vậy `\hat{EDF}=60°`

$\\$

`c)` Ta có: `\hat{MDF}=\hat{MBF}`(câu b)

Mà `\hat{MBF}=\hat{MCD}` (cùng chắn cung $MB$ của $(O)$)

`=>\hat{MDF}=\hat{MCD}`

$\\$

`\qquad CDME` nội tiếp 

`=>\hat{MCD}=\hat{MED}` (cùng chắn cung $MD$)

`=>\hat{MDF}=\hat{MED}` $(1)$

$\\$

`\qquad BDMF` nội tiếp 

`=>\hat{MFD}=\hat{MBD}` (cùng chắn cung $MD$)

Vì `\hat{MBD}=\hat{MCE}` (cùng chắn cung $MC$ của $(O))$

`=>hat{MFD}=\hat{MCE}`

Mà `\hat{MDE}=\hat{MCE}` ($CDME$ nội tiếp)

`=>\hat{MFD}=\hat{MDE}` $(2)$

Từ `(1);(2)=>∆MDF∽∆MED` (g-g)

`=>{MD}/{ME}={MF}/{MD}`

`=>MD^2=ME.MF`