`a)` `BE;CF` là hai đường cao cắt nhau tại $H$ của $∆ABC$

`=>BE`$\perp AC$ tại $E$

`=>\hat{AEH}=90°`

`\qquad CF`$\perp AB$ tại $F$

`=>\hat{AFH}=90°`

`=>\hat{AEH}+\hat{AFH}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{AEH};\hat{AFH}` ở vị trí đối nhau 

`=>AEHF` nội tiếp 

Ta có:

`\qquad \hat{BFC}=\hat{BEC}=90°`

`=>` Tứ giác $BCEF$ có hai đỉnh $F;E$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông 

`=>BCEF` nội tiếp 

`=>\hat{AEF}=\hat{ABC}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

$\\$

`b)` Ta có:

`\qquad \hat{ABC}=\hat{AKC}` (cùng chắn cung $AC$)

Mà `\hat{AEF}=\hat{ABC}` (c/m trên)

`=>\hat{AEF}=\hat{AKC}`

`=>\hat{AEI}=\hat{AKC}`

$\\$

Xét $∆AEI$ và $∆AKC$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{AEI}=\hat{AKC}` (c/m trên)

`=>∆AEI∽∆AKC` (g-g)

`=>{AE}/{AK}={AI}/{AC}`

`=>AI.AK=AE.AC`

Ta có:

`\qquad \hat{ACK}=\hat{AMK}` (cùng chắn cung $AK$)

Mà `\hat{ACK}=\hat{AIE}` (do $∆AEI∽∆AKC$)

`=>\hat{AIE}=\hat{AMK}`

`=>\hat{AIN}=\hat{NMK}`

`=>KMNI` nội tiếp (vì có góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>I;N;K;M` cùng thuộc $1$ đường tròn 

`=>I` thuộc đường tròn ngoại tiếp $∆NKM$

$\\$

`c)` Ta có:

`\qquad \hat{ABC}=\hat{AMC}` (cùng chắn cung $AC$)

Mà `\hat{AEF}=\hat{ABC}` (đã c/m)

`=>\hat{AEF}=\hat{AMC}`

`=>\hat{AEN}=\hat{AMC}`

`=>CMNE` nội tiếp (vì có góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>M;N` thuộc đường tròn ngoại tiếp $∆MCE$ tâm $Q$

`=>QM=QN`

$\\$

Vì `KMNI` nội tiếp (c/m trên)

`=>M;N` thuộc đường tròn ngoại tiếp $∆MKI$ tâm $P$

`=>PM=PN`

`=>PQ` là trung trực của $MN$

`=>PQ`//$MN$

$\\$

Để $PQ$//$EF$

`=>MN`$\perp EF$

`=>AM`$\perp EF$ $(1)$

$\\$

Vẽ tiếp tuyến `xy` tại $A$ của $(O)$

`=>xy`$\perp OA$ $(2)$

`=>\hat{xAF}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AF$)

Vì `\hat{AFE}=\hat{ACB}` (do $BCEF$ nội tiếp)

`=>\hat{xAF}=\hat{AFE}`

Mà `\hat{xAF};\hat{AFE}` ở vị trí so le trong 

`=>xy`//$EF$ $(3)$

$\\$

Từ `(2);(3)=>OA`$\perp EF$ $(4)$

Từ `(1);(4)=>A;O;M` thẳng hàng

Vì `A;M\in (O)=>AM` là đường kính của $(O)$

Vậy `M\in (O)` thỏa $AM$ là đường kính của $(O)$ thì $PQ$//$EF$