a, Xét (O) có: 

+ AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm ⇒ OB ⊥ AB ⇒ $\widehat{ABO}=90°$

+ AC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm ⇒ OC ⊥ AC ⇒ $\widehat{ACO}=90°$

Có $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°$

⇒ Hai điểm B và C cùng nhìn AO dưới một góc vuông

⇒ Hai điểm B và C cùng thuộc đường tròn đường kính AO

⇒ Bốn điểm A, B, C, O cùng thuộc đường kính AO

b, Xét (O) có:

AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A

B, C là hai tiếp điểm

⇒ AB = AC, AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét ΔABC có: AB = AC (cmt)

⇒ ΔABC cân tại A

Mà  AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (cmt)

⇒ AO là trung trực của BC

Mà AO cắt BC tại H

⇒ AO ⊥ BC tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔOCA vuông tại C ($\widehat{ACO}=90°$), CH ⊥ AO ( AO ⊥ BC tại H) có:

OC² = OH . OA 

Mà OC = OD = R

⇒ OD² = OH . OA

⇒ $\frac{OD}{OA}=\frac{OH}{OD}$ 

Xét ΔOHD và ΔODA có: 

$\frac{OD}{OA}=\frac{OH}{OD}$ (cmt)

$\widehat{AOD}$ : góc chung

⇒ ΔOHD ~ ΔODA (c.g.c)

c, Xét (O) có:

$\widehat{ACD}=\widehat{DEC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{CD}$)

Hay $\widehat{ACD}=\widehat{AEC}$

Xét ΔACD và ΔAEC có:

$\widehat{ACD}=\widehat{AEC}$ (cmt)

$\widehat{CAE}$: góc chung

⇒ ΔACD ~ ΔAEC (g.g)

⇒ $\frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AC}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AC² = AE . AD

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔOCA vuông tại C ($\widehat{ACO}=90°$), CH ⊥ AO ( AO ⊥ BC tại H) có:

AC² = AH . AO 

Mà AC² = AE . AD (cmt)

⇒ AH . AO = AE . AD

⇒ $\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét ΔAHD và ΔAEOcó:

$\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}$ (cmt)

$\widehat{EAO}$ : góc chung

⇒ ΔAHD ~ ΔAEO (c.g.c)

⇒ $\widehat{AHD}=\widehat{AEO}$ (các góc tương ứng)

Hay $\widehat{AHD}=\widehat{OED}$

Có $\widehat{AHD}+\widehat{DHO}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{DEO}+\widehat{DHO}=180°$

Xét tứ giác OHDE có: $\widehat{DEO}+\widehat{DHO}=180°$ (cmt)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác OHDE là tứ giác nội tiếp

⇒ $\widehat{OHE}=\widehat{ODE}$ (hai góc ở vị trí đối nhau OE)

Xét ΔOED có: OE = OD = R

⇒ ΔOED cân tại O

⇒ $\widehat{OED}=\widehat{ODE}$

Mà $\widehat{OHE}=\widehat{ODE}$ (cmt), $\widehat{AHD}=\widehat{OED}$ (cmt)

⇒ $\widehat{AHD}=\widehat{OHE}$

AO ⊥ BC tại H (cmt) ⇒ $\widehat{AHC}=\widehat{OHC}=90°$

Có:

$\widehat{AHD}+\widehat{DHC}=\widehat{AHC}=90°$

$\widehat{OHE}+\widehat{EHC}=\widehat{OHC}=90°$

Mà $\widehat{AHD}=\widehat{OHE}$ (cmt)

⇒ $\widehat{DHC}=\widehat{EHC}$

⇒ HC là phân giác $\widehat{DHE}$

Gọi I là giao điểm của HC và DE

⇒ HI là phân giác $\widehat{DHE}$

Xét ΔDHE có: HI là phân giác $\widehat{DHE}$ (cmt)

⇒ $\frac{ID}{IE}=\frac{HD}{HE}$ (tính chất tia phân giác trong tam giác)

Mà AH ⊥ HI ( AO ⊥ BC tại H)

⇒ AH là phân giác ngoài 

⇒ $\frac{AD}{AE}=\frac{HD}{HE}$ (tính chất tia phân giác trong tam giác)

Mà $\frac{DI}{EI}=\frac{HD}{HE}$ (cmt)

⇒ $\frac{AD}{AE}=\frac{ID}{IE}$

Xét ΔABE có: MD // BE (MN // BE)

⇒ $\frac{MD}{BE}=\frac{AD}{AE}$ (hệ quả định lí Talets)

Xét ΔDIN có: DN // BE (MN // BE)

⇒ $\frac{ND}{BE}=\frac{ID}{IE}$ (hệ quả định lí Talets)

Mà $\frac{MD}{BE}=\frac{AD}{AE}$ (cmt), $\frac{AD}{AE}=\frac{ID}{IE}$ (cmt)

⇒ $\frac{MD}{BE}=\frac{ND}{BE}$ ⇒ MD = ND ⇒ D là trung điểm của MN