Ta có:

`\frac{1}{x+2yz}+\frac{1}{y+2zx}+\frac{1}{z+2xy}=\frac{x}{x^2+2xyz}+\frac{y}{y^2+2xyz}+\frac{z}{z^2+2xyz}=\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq \frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1}`

Mặt khác:

`1-(\frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1})=\frac{x+y+z+1-4xyz}{(2x+1)(2y+1)(2z+1)}=\frac{x+y+z-3}{(2x+1)(2y+1)(2z+1)}\geq \frac{0}{(2x+1)(2y+1)(2z+1)}=0\Rightarrow 1\geq \frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1}`

Đẳng thức xảy ra khi `x=y=z=1`

Đặt $x=\frac{a}{b}>0;y=\frac{b}{c}>0;z=\frac{c}{a}>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\frac{2}{x+2yz}=\frac{2}{\frac{a}{b}+2\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=\frac{2}{\frac{a}{y}+2.\frac{b}{a}}= \frac{2ab}{a^2+2b^2}= \frac{2ab}{a^2+b^2+b^2}\leq\frac{2ab}{2ab+b^2}=1-\frac{b^2}{2ab+b^2}$ 

Tương tự, $\frac{2}{y+2zx}\leq1-\frac{c^2}{2bc+c^2}$ 

                 $\frac{2}{z+2xy}\leq1-\frac{a^2}{2ca+a^2}$ 

$⇒2A\leq3 -(\frac{b^2}{2ab+b^2}+\frac{c^2}{2bc+c^2}+\frac{a^2}{2ca+a^2})$ 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawrz dạng Engel, ta có:

$2A\leq3 -\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ca+2bc}=2$ 

$⇒A\leq1$ 

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ 

Hay $x=y=z=1$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ là $1$ khi và chỉ khi $x=y=z=1$