a) Ta có:

AD ⊥ AC => ∠DAC= 90 độ

=> ∠DAB + ∠BAC =90 độ (2)

AE ⊥ AB => ∠EAB = 90 độ

=> ∠EAC + ∠BAC = 90 độ (1)

Từ (1) và (2) 

=> ∠DAB = ∠EAC

Xét ΔDAB và ΔEAC có:

AD = AC ( giả thiết)

∠DAB = ∠EAC ( chứng minh trên)

AE = AB  ( giả thiết)

=> ΔDAB = ΔEAC  (c.g.c)

=> BD = CE ( hai cạnh tương ứng)

Vậy BD = CE

b) Xét ΔABM và ΔNCM có:

AM = MN (giả thiết)

∠AMB= ∠CMN ( hai góc đối đỉnh)

MB = MC ( vì trung tuyến AM => M là trung điểm của BC)

=> ΔABM = ΔNCM ( c.g.c)

=> AB = CN ( 2 cạnh tương ứng)

∠MBA = ∠MCN (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong => AB//CN

=> ∠BAC + ∠ACN =180 độ ( hai góc trong cùng phía)

=> ∠ACN = 180 độ - ∠BAC (2)

Ta có: ∠DAC= 90 độ ; ∠EAB = 90 độ

=> ∠DAC + ∠EAB =180 độ

=> ∠DAB + ∠BAC + ∠EAC + ∠BAC = 180 độ

=> (∠DAB + ∠BAC + ∠EAC) + ∠BAC= 180 độ

=> ∠DAE + ∠BAC = 180 độ

=> ∠DAE = 180 độ - ∠BAC (1)

Từ (1) và (2) 

=> ∠ACN = ∠DAE

Xét ΔADE và ΔCAN có:

CN=AB= AE (chứng minh trên)

∠ACN = ∠DAE ( chứng minh trên)

AD = AC ( giả thiết)

=> ΔADE = ΔCAN ( c.g.c)

Vậy ΔADE = ΔCAN ( c.g.c)

c) 

Ta có ΔADE = ΔCAN (phần b)

=> ∠CAN = ∠ADE ( 2 góc tương ứng)

∠CAN + ∠DAI = ∠DAC =90 độ

Mà ∠CAN = ∠ADE => ∠ADE+ ∠DAI = 90 độ

Xét ΔDAI có ∠ADE+ ∠DAI = 90 độ

=> ∠DIA = 90 độ

=> ΔDIA vuông tại I

AD định lí Py-ta -go lần lượt vào các  ΔADI; ΔAIE có:

+) `AD^2 = AI^2 + DI^2`

`=> AI^2 = AD^2 - DI^2` `(1)`

+) `AE^2 = IE^2 + IA^2`

`=> AI^2 = AE^2 - IE^2` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` 

`=> AE^2 - IE^2 = AD^2 - DI^2`

`=> AE^2 + DI^2 = AD^2 + IE^2`

Do đó `(AD^2+IE^2)/(DI^2 + AE^2) =1`

Vậy `(AD^2+IE^2)/(DI^2 + AE^2) =1`