Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương, ta có:

$A=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{5(x^2+1)}{2x}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{x}{x^2+1}.\dfrac{5(x^2+1)}{2x}}=2\sqrt{\dfrac52}=2.\dfrac{\sqrt5}{\sqrt2}=2.\dfrac{\sqrt{10}}2=\sqrt{10}$

Dấu $=$ xảy ra $⇔\dfrac{x}{x^2+1}=\dfrac{5(x^2+1)}{2x}$ 

  $⇔5(x^2+1)^2=2x^2$

$⇔5(x^4+2x^2+1)=2x^2$

$⇔5x^4+10x^2+5=2x^2$

$⇔5x^4+8x^2+5=0$ (vô lí)

Vậy không tồn tại $x$ để $A$ đạt GTNN

Đáp án :

Không tồn tại `x` để `A_(min)`

Giải thích các bước giải :

`A=x/(x^2+1)+(5(x^2+1))/(2x)`
Vì `x` dương 
`=>x/(x^2+1)` và `(5(x^2+1))/(2x)` dương
Áp dụng Co-si vào `A`, ta được :
`A=x/(x^2+1)+(5(x^2+1))/(2x)`
`=>A>=2\sqrt{x/(x^2+1).(5(x^2+1))/(2x)}`
`=>A>=2\sqrt{5/2}`
`=>A>=\sqrt{4}.\sqrt{5/2}`
`=>A>=\sqrt{4.(5)/2}`
`=>A>=\sqrt{10}`
`=>A_(min)=\sqrt{10}`
Xảy ra dấu `=` khi :
`x/(x^2+1)=(5(x^2+1))/(2x)`
`<=>(2x^2)/(2x(x^2+1))=(5(x^2+1)^2)/(2x(x^2+1))`
`<=>2x^2=5(x^2+1)^2`
`<=>5(x^2+1)^2-2x^2=0`
`<=>(x^2+1)^2-(2x^2)/5=0`
`<=>(x^2+1)^2-(5x^2)/5+(3x^2)/5=0`
`<=>(x^2+1)^2-x^2+(3x^2)/5=0`
`<=>(x^2+x+1)(x^2-x+1)+(3x^2)/5=0`
`(x^2+x+1)`là bình phương thiếu `=>(x^2+x+1)>0`
`(x^2-x+1)`là bình phương thiếu `=>(x^2-x+1)>0`
`(3x^2)/5>0` vì `x` dương
`=>(x^2+x+1)(x^2-x+1)+(3x^2)/5>0` (Vô lí)
Vậy : Không tồn tại `x` để `A_(min)`