Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) ABC$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{B_1}=45^\circ$

$\Delta BCD$ có $BD=BC, \widehat{B_2}=90^\circ$

$\Rightarrow \Delta BCD$ vuông cân tại $B$
$\Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{D}=45^\circ$

$\widehat{B_1}= \widehat{C_1}=45^\circ$, mà hai góc ở vị trí so le trong so với $AB$ và $CD$

$\Rightarrow AB//CD$

$\Rightarrow ABDC$ là hình thang

Mà $\widehat{A}=90^\circ$

$\Rightarrow ABDC$ là hình thang vuông

$b) AB//CD$

$\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{ACD}=180^\circ$ (hai góc trong cùng phía)

$\Rightarrow \widehat{ACD}=180^\circ-\widehat{A}=90^\circ$

$\widehat{D}+\widehat{ABD}=180^\circ$ (hai góc trong cùng phía)

$\Rightarrow \widehat{ABD}=180^\circ-\widehat{D}=135^\circ$

$c) ABC$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow AC=AB=5(cm)$

$BC^2=AB^2+AC^2$ (Pytago)

$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5\sqrt{2} (cm)$

$BCD$ vuông cân tại $B$

$\Rightarrow BD=BC=5\sqrt{2} (cm)$

$DC^2=BC^2+BD^2$ (Pytago)

$\Rightarrow DC=\sqrt{BC^2+BD^2}=10(cm).$