$a)\widehat{A_1}=\widehat{ACB}$(Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn 1 cung)

Xét $\Delta SAB$ và $\Delta SCA$

$\widehat{S}:$ chung

$\widehat{A_1}=\widehat{ACB}\\ \Rightarrow \Delta SAB \backsim \Delta SCA\\ \Rightarrow \dfrac{SA}{SC}=\dfrac{SB}{SA}\\ \Rightarrow SA^2=SB.SC\\ b)\widehat{A_2}=\widehat{EAC}$

$\Rightarrow$ Cung $BE$= cung $EC$

$\Rightarrow \widehat{BOI}=\widehat{COI}$

$\Rightarrow OI$ là tia phân giác gốc $\widehat{BOC}$

Mà $\Delta BOC$ cân tại $O(OB=OC)$

$\Rightarrow OI$ là phân giác đồng thời là đường cao

$\Rightarrow OI \perp BC\\ \Leftrightarrow OE \perp BC\\ c)\widehat{SAK}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{ACB}+\widehat{EAC}=\widehat{SKA}$(Góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

$\Rightarrow \Delta SAK$ cân tại $S$

$\Rightarrow SA=SK$

$d)$Điểm$ A, I, D$ cùng nhìn cạnh $SO$ dưới một góc $90^o$

$\Rightarrow A,I,D,S,O$ cũng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow SAOD$ nội tiếp được đường tròn và $I$ cũng thuộc đường tròn này.