Cho hình thang cân `ABCD` có đáy lớn là `AB`. Gọi `M, N` lần lượt là trung điểm các đoạn
thẳng AB, CD. Kẻ `BE bot CD` tại `E`

Giải:

Ta có:

`- M` là trung điểm của `AD`

`- N` là trung điểm của `BC`

Do đó: `MN` là đường trung bình của tứ giác `ABCD`

`=>MN////CD`

Hay `MN////BE`

Ta có:

`-BE bot CD`

`-MN////CD`

Do đó: `BE bot MN`

Gọi điểm cắt nhau của `BE` và `MN` là `O`

Ta có: `MN////AB////CD`

Hay `MO ////AB////DE`

Ta có:

`-M` là trung điểm của `AD`

`-MO ////AB////DE`

Do đó: `MO` là đường trung bình của hình thang `ABDE` (đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh thứ hai)

`=>O` là trung điểm của `BE`

`=>OB=OE`

Xét `\Delta BON` vuông tại `O` và `\DeltaEON` vuông tại `O`

Ta có: 

`BO=EO` (chứng minh trên)

`ON` là cạnh chung

Vậy `\Delta BON=\Delta EON`

`=>BN=NE`

Ta có:

`- hat\{D}=hat\{C}` `(ABCD` là hình thang cân)

`-MN////CD` (`MN` là đường trung bình của hình thang `ABCD`)

`=>` tứ giác `MNCD` là hình thang cân 

`=>MD=NC`

Ta có:

`-AM=AD-MD`

`-BN=BC - NC`

Mà `MD=NC` `(cmt)` và `AD=BC` (hình thang `ABCD` cân)

Nên `AM=BN`

Mà `AM=MD` (`M` là trung điểm của `AD)`

Nên `BN=MD

Mà `BN=NE`

Nên `MD=NE`

Ta có:

`-)MD=NE` và `MD, NE` là hai cạnh đối nhau

`-)MN////DE` 

`=>MNDE` là hình bình hành

`=>MN=DE` (các cạnh đối bằng nhau)

Ta có:

`hat\{BED}>hat\{BDE}` (góc vuông lớn hơn góc nhọn)

`=>BD>DE` (liên hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác `BDE`)

Hay `BD>MN` ( `DE=MN`)

Mà `BD=AC` (hình thang `ABCD` cân nên có hai đường chéo bằng nhau)

Nên `AC=BD>MN`

Vậy ta chứng minh được trong hình thang cân, đường chéo luôn lớn hơn đường trung bình.