Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Theo đề: Đường cao  $CK$ vuông góc với $AB$ tại B 

$\Rightarrow$ $\widehat{CKA}$  = 90 độ

Đường cao $AN$ vuông góc với $BC$ tại N

$\Rightarrow$  $\widehat{ANC}$ = 90 độ

$\Rightarrow$  $\widehat{CKA}$  = $\widehat{ANC}$

Xét Tứ giác $AKNC$ có: $\widehat{CKA}$  = $\widehat{ANC}$ ( chứng minh trên )

Mà $\widehat{CKA}$ và $\widehat{ANC}$ là 2 góc kề cạnh KN cùng nhìn cạnh AC

$\Rightarrow$ Tứ giác $AKNC$  là tứ giác nội tiếp

b) Ta có : $\widehat{BAD}$ = $\frac{1}{2} \overparen{BD}$  

$\widehat{BCD}$ =  $\frac{1}{2} \overparen{BD}$ 

$\Rightarrow$ $\widehat{BAD}$ = $\widehat{BCD}$ ( góc nộ tiếp cùng chắn 1 cung ) ( 1) 

Mặt $\neq$ :  $\widehat{BCK }$ = $\widehat{BAD}$ ( chứng minh câu a ) (2)

$\Rightarrow$ $\widehat{BCD}$ =  $\widehat{BCK }$

$\Rightarrow$  $CB$ là tia phân giác của $\widehat{KCD}$

c) Xét Δ $KAH$ vuông tại K  và Δ $KCB$ vuông tại K có:

$\widehat{HAK}$ = $\widehat{BCK}$ ( tứ giác $AKNC$ nội tiếp )

$\Rightarrow$ Δ $KAH$ $đồng$ $dạng$ Δ $KCB$  ( g-g)

$\Rightarrow$ $\frac{KA}{KC}$ = $\frac{KH}{KB}$  $\Rightarrow$ $KA$ . $KB$ = $KH$ . $KC$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Vì AN là đường cao của ΔABC ⇒ AN⊥BC tại N ⇔ ∠ ANB = 90 độ
Vì CK là đường cao của ΔABC ⇒ CK⊥AB tại K ⇔ ∠ CKA = 90 độ
Trong tứ giác AKNC, có: đỉnh K và đỉnh n cùng nhìn đoạn AC dưới một góc vuông

⇒K, N nằm trên đường tròn đường kính AC

⇒tứ giác AKNC nội tiếp (đpcm)

b) ∠ABC = ∠ ADC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) hay ∠ABC = ∠ NDC (1)

Xét ΔKBC và Δ NHC có: ∠BKC = ∠ HNC (= 90 độ)

                                      ∠KCB là góc chung
⇒ΔKBC  đồng dạng với Δ NHC(g.g)⇒ ∠KBC=∠CHN hay ∠ABC=∠CHN (2)

Từ (1) và (2), suy ra: ∠NDC = ∠CHN ⇒ Δ CHD cân tại C 

mà BC⊥AN tại N(cmt) hay CN⊥HD tại N ⇒ CN là đường cao của ΔCHD

⇒CN là vừa đường cao vừa là đường phân giác của ΔCHD

⇒BC là tia phân giác của ∠KCD(đpcm)

c)∠CHN = ∠AHK(đối đỉnh)

mà ∠KBC=∠CHN ⇒ ∠KBC=∠AHK
Xét ΔKBC và ΔKHA có: ∠KBC=∠AHK (cmt)

                                    ∠BKC = ∠AKH (= 90 độ)

⇒ΔKBC đồng dạng với ΔKHA (g.g)⇒$\frac{KB}{KH}$ = $\frac{KC}{KA}$ ⇔KA.KB = KH.KC(đpcm)