Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$a$ ) 

* Theo đề: Δ $ABC$  vuông tại  $B$

$\Rightarrow$  $\widehat{B}$ = 90 độ

Ta có: 

$\widehat{EMC}$ chắn nửa $Đt$ đường kính $EC$   $\Rightarrow$ $\widehat{EMC}$ = 90 độ

$\Rightarrow$  $\widehat{B}$  + $\widehat{EMC}$  = 90 + 90 = 180 độ

Xét Tứ giác $AEBM$  có : $\widehat{B}$  + $\widehat{EMC}$  = 180 độ ( chứng mình trên)

Mà $\widehat{B}$ và $\widehat{EMC}$ là 2 góc đối nhau 

$\Rightarrow$ Tứ giác $AEBM$  là tứ giác nội tiếp

* Ta có : $\widehat{B}$ = 90 độ ( câu a ) 

$\widehat{ENC}$ chắn nửa đường tròn đường kính $EC$  $\Rightarrow$  $\widehat{ENC}$ = 90 độ

$\Rightarrow$  $\widehat{B}$ = $\widehat{ENC}$  = 90 độ

Xét Tứ giác $ABNC$ có : $\widehat{B}$ = $\widehat{ENC}$ ( chứng minh trên )

Mà $\widehat{B}$ và $\widehat{ENC}$  là 2 góc kề cạnh BN, cùng nhìn AC 

$\Rightarrow$  Tứ giác $ABNC$ là tứ giác nội tiếp

Vậy ..............

b)

$\widehat{ENC}$ chắn nửa đường tròn đường kính $EC$  $\Rightarrow$  $\widehat{ENC}$ = 90 độ

$\widehat{EMC}$ chắn nửa $Đt$ đường kính $EC$   $\Rightarrow$ $\widehat{EMC}$ = 90 độ

$\Rightarrow$  $\widehat{ENC}$ + $\widehat{EMC}$ = 180 độ 

Xét Tứ giác  $MENC$ có :  $\widehat{ENC}$ + $\widehat{EMC}$ = 180 độ

Mà $\widehat{ENC}$ và $\widehat{EMC}$ là 2 góc đối nhau

$\Rightarrow$ Tứ giác $MENC$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow$  $\widehat{EMN}$ = $\widehat{ECN}$ (1) 

Ta có : $\widehat{EMB}$ = $\widehat{EBA}$ ( Tứ giác ABEM nội tiếp ) (2)

Mà $\widehat{EBA}$ = $\widehat{ECN}$ ( Tứ giác $ABNC$ nội tiếp) (3)

Từ (1)(2)(3)  $\Rightarrow$  $\widehat{EMB}$ = $\widehat{EMN}$

$\Rightarrow$  ME là phân giác của $\widehat{BMN}$

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $EC$ là đường kính của $(O)\to M\perp MC, EN\perp NC$

$\to \widehat{AME}=\widehat{ABE}=90^o,\widehat{ABC}=\widehat{ANC}=90^o$

$\to ABEM, ABNC$ nội tiếp

b.Từ câu a

$\to \widehat{EMN}=\widehat{ECN}=\widehat{BCN}=\widehat{BAN}=\widehat{BAE}=\widehat{BNE}$

$\to ME$ là phân giác $\widehat{BMN}$

c.Xét $\Delta AEM, \Delta ANC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AME}=\widehat{ANC}(=90^o)$

$\to \Delta AME\sim\Delta ANC(g.g)$

$\to \dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AE}{AC}$

$\to AM.AC=AE.AN$

Tương tự $CE.CB=CM.Ca$

$\to AE.AN+CE.CB=AM.AC+CM.CA=CA^2$