Xét `\Delta AHC` vuông tại `A` :

`AC^2 = AH^2 + CH^2` ( Pytago )

`-> AC^2 = 13^2 + 20^2`

`-> AC = \sqrt( 13^2 + 20^2 )`

`-> AC = \sqrt(569) cm`

Xét `\Delta ABC` vuông tại `A`, đường cao `AH` có:

`AC^2 = BC.CH` ( Hệ thức lượng )

`-> BC = (AC^2)/(CH)`

`-> BC = [ \sqrt(569)^2 ]/(20)`

`-> BC = 28,45 cm`

Dễ dàng tìm được `AB ≈ 15,5 cm` ( Pytago )

`b)`

`+)` Xét `\Delta AHB` vuông tại `H`, đường cao `HE` có:

`AH^2 = AE.AB ( 1)` ( Hệ thức lượng )

Xét `\Delta AHC` vuông tại `H`, đường cao `HF` có:

`AH^2 = AF.AC ( 2)` ( Hệ thức lượng )

Từ `(1),(2) -> AE.AB = AF.AC`

`+) ` Xét tứ giác `EHAF` có

`- \hat(EAF) = 90^o ( \hat(BAC) = 90^o, 3` điểm `B,E,A` thẳng hàng `)`

`- \hat(HEA) = 90^o ( E` là hình chiếu của `H` lên `AB )`

`- \hat(HFA) = 90^o ( F` là hình chiếu của `H` lên `AC )`

`->` Tứ giác `EHAF` là hình chữ nhật

`-> EF = AH`

Mà `AH^2 = AE.AB`

`-> EF^2 = AE.AB`

`+ )` Xét `\Delta AHB` vuông tại `H`, đường cao `EH` có:

`BH^2 = BE.AB` ( Hệ thức lượng )

Xét `\Delta AHC` vuông tại `H` , đường cao `HF` có:

`HC^2 = CF.AC` ( Hệ thức lượng )

Xét `Delta ABC` vuông tại `A`, đường cao `AH` có:

`AB^2 = BH.BC` ( Hệ thức lượng )

Lại có `AC^2 = CH.BC` `(` Chứng minh ở câu `a )`

`-> (AB^2)/(AC^2) = ( BH.BC)/(CH.BC) = (BH)/(CH)`

`-> ( (AB^2)/(AC^2) )^2 = ((BH)/(CH))^2`

`-> (AB^4)/(AC^4) = ( BH^2)/(CH^2)`

`-> (AB^4)/(AC^4) = ( BE.AB )/(CF.AC)`

`-> (AB^4)/(AC^4) = ( BE)/(CF) . (AB)/(AC)`

`-> (AB^4)/(AC^4) : (AB)/(AC) = ( BE)/(CF)`

`-> (AB^3)/(AC^3) = ( BE)/(CF)` 

Ta được đpcm