Bạn xem hình

Lời giải:

Ta có:

$\begin{cases}SA\perp BC\quad (SA\perp (ABCD))\\BC\perp AB\quad (gt)\\SA\cap AB=\{A\}\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp AE$

Khi đó:

$\begin{cases}AE\perp SB\quad (gt)\\BC\perp AE\quad (cmt)\\SB\cap BC =\{B\}\end{cases}$

$\Rightarrow AE\perp (SBC)$

$\Rightarrow AE\perp EF$

$\Rightarrow \triangle AEF$ vuông tại $E$

Chứng minh tương tự, ta được:

$AH\perp (SCD)$

$\Rightarrow AH\perp FH$

$\Rightarrow \triangle AFH$ vuông tại $H$

Ta lại có:

$\triangle SAB=\triangle SAD\ (c.c.c)$

$\Rightarrow AE = AH$

Do đó:

$\triangle AEF=\triangle AHF$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow S_{AEFH}= 2S_{AEF}$

Ta có:

$\triangle SAB$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow SB = AB\sqrt2 = a\sqrt2$

$\Rightarrow AE =\dfrac12SB =\dfrac{a\sqrt2}{2}$

$\triangle SAC$ vuông tại $A$ đường cao $AF$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{SA^2} +\dfrac{1}{AC^2}$

$\Rightarrow AF=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2 + AC^2}}$

$\Rightarrow AF= \dfrac{SA.AB\sqrt2}{\sqrt{SA^2 + 2AB^2}}$

$\Rightarrow AF =\dfrac{a.a\sqrt2}{\sqrt{a^2 + 2a^2}}$

$\Rightarrow AF = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle AEF$ vuông tại $E$

$\quad AF^2 = AE^2 + EF^2$

$\Rightarrow EF=\sqrt{AF^2 - AE^2}$

$\Rightarrow EF =\sqrt{\dfrac{2a^2}{3} - \dfrac{a^2}{2}}$

$\Rightarrow EF =\dfrac{a\sqrt6}{6}$

Ta được:

$S_{AEF}=\dfrac12AE.EF =\dfrac12\cdot\dfrac{a\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt6}{6}=\dfrac{a^2\sqrt3}{12}$

$\Rightarrow S_{AEFH}=2S_{AEF}=\dfrac{a^2\sqrt3}{6}$