Đáp án:

+ Xét ΔABC có: 

E là trung điểm AB (đường trung tuyến CE)

D là trung điểm AC (đường trung tuyến BD)

→ ED là đường trung bình ΔABC (định nghĩa)

→ ED // BC (tc); ED = 1/2 BC

+ Xét tứ giác BEDC có:

ED // BC (cmt) → tứ giác BEDC là hình thang (dhnb)

lại có M là trung điểm BE (gt), N là trung điểm DC (gt)

→ MN là đường trung bình hình thang BEDC (định nghĩa)

→ MN // ED // BC (tc)

mà I, K ∈ MN (gt) → MI (IK, KN) // ED // BC 

+ Xét ΔBED có:

M là trung điểm BE (gt)

MI // ED (cmt)

→ MI là đường trung bình ΔBED (định lý)

→ MI = 1/2 ED (tc)

+ Chứng minh tương tự: KN là đường trung bình ΔEDC 

→ KN = 1/2 ED (tc); K là trung điểm EC (tc)

⇒ MI = KN

+ Xét ΔEBC có:

M là trung điểm EB (tc)

K là trung điểm EC (cmt)

→ MK là đường trung bình ΔEBC (định nghĩa)

→ MK = 1/2 BC

+ Ta có: MK = 1/2 BC (cmt); ED = 1/2 BC (cmt)

→ MK = ED 

lại có MI = 1/2 ED → MI = 1/2 MK

→ I là trung điểm MK

→ MI = IK 

+ Ta có: MI = IK (cmt), MI = KN (cmt)

→ MI = IK = KN (dpcm)

Giải thích các bước giải:

+ Chứng minh ED là đường trung bình ΔABC.

+ Chứng minh MN là đường trung bình hình thang BEDC.

+ Chứng minh MI là đường trung bình ΔBED.

+ Chứng minh KN là đường trung bình ΔEDC.

+ Chứng minh MK là đường trung bình ΔEBC.

→ so sánh độ dài các cạnh → MI = IK = KN.