Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $AE\perp BF, AE$ là phân giác $\hat A$ 

$\to \Delta ABF$ có đường cao đồng thời là phân giác 

$\to \Delta ABF$ cân tại $A$

Mà $\hat A=90^o\to\Delta ABF$ vuông cân tại $A$

$\to AF=AB$

Do $AC=2AB\to AB=\dfrac12AC\to AF=\dfrac12AC$

$\to F$ là trung điểm $AC$

Ta có: $CE\perp AE\to \Delta ACE$ vuông tại $E$

Mà $\widehat{EAC}=\widehat{EAB}=\dfrac12\widehat{BAC}=45^o$

$\to \Delta ACE$ vuông cân tại $E$

$\to EA=EC$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A, M$ là trung điểm $BC\to MA=MB=MC=\dfrac12BC$

Ta có: $FA=FC$ vì $F$ là trung điểm $AC$

            $MA=MC, EA=EC$

$\to E, M, F\in$ trung trực $AC$

$\to E, M, F$ thẳng hàng

c.Ta có: $E,M, F\in$ trung trực $AC\to EF\perp AC\to \Delta AFE$ vuông tại $F$

Mà $\widehat{EAF}=\widehat{EAC}=45^o\to \Delta AEF$ vuông cân tại $F\to FA=FE$

Lại có: $AB=AF\to AB=EF, AB//EF(\perp AC)$

$\to ABEF$ là hình bình hành

Kết hợp $AB=AF, \widehat{BAF}=90^o$

$\to ABEF$ là hình vuông

d.Vì $ABEF$ là hình vuông $\to BF$ là trung trực $AE$

Do $P, Q\in BF$

$\to PA=PE, QA=QE$

Xét $\Delta APB,\Delta AQF$ có:

$\widehat{ABP}=\widehat{ABF}=45^o=\widehat{AFB}=\widehat{AFQ}$

$AB=AF$

$\widehat{PAB}=\widehat{HAB}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{HCA}=\widehat{MCA}=\widehat{MAC}=\widehat{QAF}$

$\to \Delta APB=\Delta AQF(g.c.g)$

$\to AP=AQ$

$\to AP=PE=EQ=QA$

$\to APEQ$ là hình thoi