Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Gọi $I$ là trung điểm $BC$

$∠BMC = ∠BNC = 90^{0} ⇒ BCMNnt (I; \dfrac{BC}{2})$

$ ⇒ ∠PNB = ∠PCM $ ( cùng bù $∠BNM$)

$ ⇒ ΔPBN ≈ ΔPCM (g.g) $ (chung góc $P$)

$ ⇒ \dfrac{PB}{PN} = \dfrac{PM}{PC} ⇔ PB.PC = PM.PN (1)(đpcm)$

b) $BCAK nt $(O)$nên cm tương tự câu a)$: PB.PC = PK.PA(2)$

Bắc cầu $(1); (2) ⇒ PM.PN = PK.PA ⇔ \dfrac{PN}{PK} = \dfrac{PA}{PM} $

$ ⇒ ΔPKN ≈ ΔPMA (đpcm)$ ( chung góc $P$ xen giữa cặp cạnh tương ứng tỷ lệ)

Do$ : ΔPKN ≈ ΔPMA ⇒ ∠PKN = ∠PMA = ∠NMA$

$ ⇒ ∠NMA $ bù với $∠AKNE ⇒ AKNMnt (3)$

Mà $ : ∠AMH = ∠ANH = 90^{0} ⇒ ANHMnt (4)$

$(3); (4) ⇒ 5 $ điểm $A; K; N; H; M ∈$ đường tròn đường kính $AH$

$ ⇒ ∠AKH = 90^{0} ⇔ KH⊥AK (*)$

Vẽ đường kính $AD$ của $(O) ⇒ BD⊥AB; CD⊥AC$

$ ⇒ BDCH$ là hbh $⇒ H; I; D$ thẳng hàng $ ⇒ OJ//DH$

Mà $OJ⊥AK $ ( đường nối tâm vuông góc dây chung) $⇒ DH⊥AK (**)$

Từ $(*); (**) ⇒ K; H; I; D$ thẳng hàng hay $KH$

đi qua trung điểm $I$ của $BC$