$\textit{Tóm tắt:}$

$\text{$v_1$ = 10 $km/h$}$

$\text{$v_2$ = 10 $km/h$}$

$\text{$t_1$ = $30'$ = $\dfrac{1}{2}h$}$

$\text{$t_2$ = $10'$ = $\dfrac{1}{6}h$}$

$\underline{t_3 = 40' = \dfrac{2}{3}h\space\space\space\space\space\space}$

$a/\text{$s_{AD}$ = ? $km$}$

$b/\text{$v_3$ = ? $km$}$

                                          $\textit{Giải:}$

$a/$ Quãng đường người thứ $I$ đã đi được khi người thứ $II$ xuất phát là:

          $s_{AC}=t_1.v_1=\dfrac{1}{2}.10=5\space(km)$

Vì người thứ $I$ và $II$ đi cùng chiều nên khi $2$ người gặp nhau tại $D$, ta có:

      $s_{AD}-s_{CD}=s_{AC}$

$⇔tv_2-tv_1=s_{AC}$

$⇔t(v_2-v_1)=s_{AC}$

$T/s: t(20-10)=5⇔t=0,5\space(h)$

$⇒s_{AD}=tv_2=0,5.20=10\space(km)$

Vậy người thứ $I$ và $II$ gặp nhau tại nơi cách vị trí xuất phát $10\space km$

$b/$ Quãng đường người thứ $I$ đã đi được khi người thứ $III$ xuất phát là:

          $s_{AC'}=v_1(t_1+t_2)$

Khi người thứ $I$ gặp người thứ $III$ tại $F$, ta có:

      $s_{AF}-s_{FC'}=s_{AC'}$

$⇔t'v_3-t'v_1=v_1(t_1+t_2)$

$⇔t'(v_3-v_1)=v_1(t_1+t_2)$

$⇔t'=\dfrac{v_1(t_1+t_2)}{v_3-v_1}$ $^{*)}$

Sau $40'$ kể từ lúc người thứ $I$ và $III$ gặp nhau thì người thứ $III$ cách đều người thứ $I$ và $II$.

Khi đó: $s_{GC^{^+}}=s_{GE^{^+}}$

$⇔s_{AG}-s_{AC^{^+}}=s_{AE^{^+}}-s_{AG}$

$⇔s_{AC^{^+}}+s_{AE^{^+}}=2s_{AG}$

$⇔v_1(t_1+t_2+t'+t_3)+v_2(t_2+t'+t_3)=2v_3(t'+t_3)$

$⇔v_1(t_1+t_2+t_3)+v_1t'+v_2(t_2+t_3)+v_2t'=2v_3t'+2v_3t_3$

$⇔v_1(t_1+t_2+t_3)+v_2(t_2+t_3)=2v_3t'-v_1t'-v_2t'+2v_3t_3$

$⇔v_1(t_1+t_2+t_3)+v_2(t_2+t_3)=t'(2v_3-v_1-v_2)+2v_3t_3$

Thay $^{*)}$ vào, ta được:

$⇔v_1(t_1+t_2+t_3)+v_2(t_2+t_3)=\dfrac{v_1(t_1+t_2)(2v_3-v_1-v_2)}{v_3-v_1}+2v_3t_3$

$T/s:10(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3})+20(\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3})=\dfrac{10(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6})(2v_3-10-20)}{v_3-10}+2v_3\dfrac{2}{3}$

$⇔\dfrac{10\dfrac{2}{3}(2v_3-30)}{v_3-10}+\dfrac{4}{3}v_3=10.\dfrac{4}{3}+20.\dfrac{5}{6}$

$⇔\dfrac{\dfrac{20}{3}(2v_3-30)}{v_3-10}+\dfrac{4}{3}v_3=\dfrac{40}{3}+\dfrac{50}{3}$

$⇔\dfrac{\dfrac{40}{3}v_3-200}{v_3-10}+\dfrac{4}{3}v_3=30$

$⇔\dfrac{\dfrac{40}{3}v_3-200+\dfrac{4}{3}v_3(v_3-10)}{v_3-10}=30$

$⇔\dfrac{40}{3}v_3-200+\dfrac{4}{3}v_3(v_3-10)=30(v_3-10)$

$⇔\dfrac{40}{3}v_3-200+\dfrac{4}{3}v_3^2-\dfrac{40}{3}v_3=30v_3-300$

$⇔\dfrac{4}{3}v_3^2-30v_3+100=0$

Đặt $a=\dfrac{4}{3},b=-30,c=100$

Đặt $\Delta=b^2-4ac=(-30)^2-4.\dfrac{4}{3}.100=\dfrac{1100}{3}$

        $\Delta>0$ nên PT có $2$ nghiệm phân biệt:

$⇒\left[\begin{matrix} v_3=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{30+\sqrt{\dfrac{1100}{3}}}{\dfrac{8}{3}}\\v_3=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{30-\sqrt{\dfrac{1100}{3}}}{\dfrac{8}{3}}\end{matrix}\right.$

$⇔\left[\begin{matrix} v_3\approx18,43\space(km/h)\space(TM)\\v_3\approx4,07\space(km/h)\space\text{(Loại)}\end{matrix}\right.$

$*$ Loại TH thứ $2$ vì vận tốc này nhỏ hơn $v_1$, không thể đuổi kịp người thứ $I$ với vận tốc này.

Vậy vận tốc của người thứ $III$ là khoảng $18,43\space km/h$

$*$ Giải thích thêm:

$-$ Trong bài có đoạn:

      $s_{AC^{^+}}+s_{AE^{^+}}=2s_{AG}$

$⇔v_1(t_1+t_2+t'+t_3)+v_2(t_2+t'+t_3)=2v_3(t'+t_3)$

Sở dĩ có thể biến đổi được như thế là vì đề đã cho chuyển động của cả $3$ người là chuyển động thẳng đều, vận tốc không đổi nên tổng quãng đường đã đi từ lúc xuất phát đến khi cách đều sẽ bằng tổng thời gian đã đi nhân cho vận tốc.

$-$ Phương trình ở cuối bài có thể giải theo cách đặt $\Delta$, dùng máy tính hoặc phân tích đa thức thành nhân tử (Nếu có thể).

$*$ Chú thích các điểm trong hình:

$-$ $C$: Vị trí của người thứ $I$ lúc người thứ $II$ khởi hành

$-$ $D$: Nơi người thứ $I$ và $II$ gặp nhau

$-$ $E$ và $C'$: Lần lượt là vị trí của người thứ $I$ và $II$ lúc người thứ $III$ khởi hành

$-$ $F$: Nơi người thứ $I$ và $III$ gặp nhau

$-$ $E'$: Vị trí của người thứ $II$ khi người thứ $I$ và $III$ đang ở $F$

$-$ $C^{^+}$, $G$ và $E^{^+}$: Lần lượt là vị trí của người thứ $I$, $III$, $II$ lúc cách đều

______________

*Lú nữa thì chỉ có nước đội quần=)))