$\color{darkgoldenrod}{a)}\ \ \ $Xét $\triangle CIA$ và $\triangle CIB$ có:

$\hspace{0.65cm}\ CI$ chung

$\hspace{0.65cm}\ \widehat{ICA}=\widehat{ICB}$ (phân giác)

$\hspace{0.65cm}\ AC=AB$ (tg cân)

$\Rightarrow\ \triangle CIA=\triangle CIB\ (c-g-c)\ (đpcm)$

$\\$$\\$

$\color{darkgoldenrod}{b)}\ \ \ \triangle ABC$ cân tại $C$ có $CI$ là phân giác

$\Rightarrow\ CI$ là trung trực $AB$

$\Rightarrow\ \begin{cases} I\ \text{là trung điểm}\ AB\\CI\bot AB=\{I\} \end{cases}$

$\Rightarrow\ AI=IB=\dfrac{AB}{2}$

$\Rightarrow\ \triangle CIA$ vuông tại $I$

$\hspace{0.65cm}\ $Xét $\triangle CIA$ vuông tại $I$ có:

$\hspace{0.65cm}\ CI^2+AI^2=CA^2\ (Pythagoras)$

$\Rightarrow\ CI^2+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2=CA^2$

$\Rightarrow\ CI^2+\left(\dfrac{10}{2}\right)^2=13^2$

$\Rightarrow\ CI^2+25=169$

$\Rightarrow\ CI^2=144$

$\Rightarrow\ CI=12\ (cm)$

$\\$

$\hspace{0.65cm}\ CA>AB\ (13cm>10cm)$

$\hspace{0.65cm}\ $Mà $CA=CB$

$\Rightarrow\ \triangle ABC$ không phải tgv (vì cạnh huyền luôn > cgv)\ (đpcm)

$\\$$\\$

$\color{darkgoldenrod}{c)}\ \ \ $Xét $\triangle \bot IMA$ và $\triangle \bot IHB$ có:

$\hspace{0.65cm}\ AI=IB\ (cmt)$

$\hspace{0.65cm}\ \widehat{CAB}=\widehat{CBA}\ (\triangle ABC$ cân tại $C$)

$\Rightarrow\ \triangle IMA=\triangle IHB\ (ch-gn)(đpcm)$

$\\$$\\$

$\color{darkgoldenrod}{d)}\ \ \ \triangle IMA=\triangle IHB\ (cmt)$

$\Rightarrow\ IM=IH$

$\Rightarrow\ \triangle IMH$ cân tại $I\ (đpcm)$

$\\$

$\hspace{0.65cm}\ \triangle IMA=\triangle IHB\ (cmt)$

$\Rightarrow\ \widehat{MIA}=\widehat{HIB}$

$\hspace{0.65cm}\ \widehat{MIA}+\widehat{MIC}=\widehat{CIA}=90^\circ$

$\hspace{0.65cm}\ \widehat{HIB}+\widehat{HIC}=\widehat{CIB}=90^\circ$

$\Rightarrow\ \widehat{MIC}=\widehat{HIC}$

$\Rightarrow\ IC$ là phân giác $\widehat{MIH}$

$\hspace{0.65cm}\ $Mà $\triangle IMH$ cân tại $I\ (cmt)$

$\Rightarrow\ IC$ là trung trực $MH$

$\Rightarrow\ IC\bot MH$

$\Rightarrow\ IC\bot AB\ (cmt)$

$\Rightarrow\ MH//AB\ (đpcm)$