`a)` Gọi $G;N$ lần lượt là giao điểm của đường phân giác `\hat{BAC}` với $BC;BD$, $F;I$ là giao điểm của đường phân giác `\hat{BAC}` với $(O)$ ($AF<AI$)

Áp dụng tính chất góc có đỉnh bên trong đường tròn, ta có:

`\hat{BNG}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{BF}+sđ\stackrel\frown{DI})\ (1)`

`\hat{BGN}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{CF}+sđ\stackrel\frown{BI})\ (2)`

Áp dụng tính chất góc có đỉnh bên ngoài đường tròn, ta có:

`\hat{DAI}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{DI}-sđ\stackrel\frown{CF})`

`\hat{BAI}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{BI}-sđ\stackrel\frown{BF})`

Mà `AI` là phân giác `\hat{BAC}`

`=>\hat{DAI}=\hat{BAI}`

`=>1/ 2 (sđ\stackrel\frown{DI}-sđ\stackrel\frown{CF})=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{BI}-sđ\stackrel\frown{BF})`

`=>sđ\stackrel\frown{DI}-sđ\stackrel\frown{CF}=sđ\stackrel\frown{BI}-sđ\stackrel\frown{BF}`

`=>sđ\stackrel\frown{BF}+sđ\stackrel\frown{DI}=sđ\stackrel\frown{CF}+sđ\stackrel\frown{BI}\ (3)`

Từ `(1);(2);(3)=>\hat{BNG}=\hat{BGN}`

`=>∆BNG` cân tại $B$

Mà $BM\perp GN$ (gt)

`=>BM` vừa là đường cao và phân giác của `∆BNG`

`=>\hat{CBM}=\hat{MBD}`

`\hat{CBM}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CM}` (góc nội tiếp chắn cung `CM)`

`\hat{MBD}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{DM}` (góc nội tiếp chắn cung `DM)`

`=>\stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{DM}`

`=>CM=BM` (liên hệ dây và cung)

Ta lại có: `OC=OD=R`

`=>OM` là đường trung trực của $CD$

`=>OM`$\perp CD$

$\\$

`b)` Ta có:

`\hat{MDE}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CM}` (góc nội tiếp chắn cung $CM$)

`\hat{MBD}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{DM}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CM}` (c/m trên)

`=>\hat{MDE}=\hat{MBD}`

Xét $∆MDE$ và $∆MBD$ có:

`\qquad \hat{M}` chung

`\qquad \hat{MDE}=\hat{MBD}` (c/m trên)

`=>∆MDE∽∆MBD` (g-g)

`=>{MD}/{MB}={ME}/{MD}`

`=>MD^2=MB.ME`