`a)`

Vì $(O_1)$ tiếp xúc $AB$ tại $B$

`=>AB` là tiếp tuyến tại $B$ của $(O_1)$

`=>\hat{ABM}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BM}`

`=>\hat{BDM}=\hat{ABM}` (cùng chắn cung $BM$ của $(O_1))$

Vì $(O_2)$ tiếp xúc $AC$ tại $C$

`=>AC` là tiếp tuyến tại $C$ của $(O_2)$

`=>\hat{ACM}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CM}`

`=>\hat{MDC}=\hat{ACM}` (cùng chắn cung $CM$ của $(O_2))$

$\\$

`=>\hat{BDC}+\hat{BAC}`

`=\hat{BDM}+\hat{MDC}+\hat{BAC}`

`=\hat{ABM}+\hat{ACM}+\hat{BAC}`

`=\hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}=180°`

Vì `\hat{BDC}; \hat{BAC}` ở vị trí đối nhau

`=>ABDC` nội tiếp 

Mà `A;B;C\in (O)` 

`=>D\in (O)`

$\\$

`b)` Gọi $E$ là giao điểm của $MD$ và $(O)$ ($E\ne D$)

Ta có:

`\qquad hat{EMC}` là góc ngoài $∆DCM$

`=>\hat{EMC}=\hat{MDC}+\hat{MCD}`

`=1/ 2 sđ\stackrel\frown{MC}+1/ 2sđ\stackrel\frown{MD}`

`=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CD}`

Mà `\hat{ACD}=1/ 2sđ\stackrel\frown{CD}` (chắn cung $CD$ của $(O_2)$)

`=>\hat{EMC}=\hat{ACD}`

Ta lại có:

`\qquad \hat{ACD}=\hat{AED}` (cùng chắn cung $AD$ của $(O)$)

`=>\hat{EMC}=\hat{AED}`

Vì `\hat{EMC};\hat{AED}` ở vị trí so le trong

`=>AE`//$BC$

Vì $∆ABC$ nội tiếp $(O)$ 

`=>A; B; C` cố định

Mà `E\in (O); AE`//$BC$

`=>E` cố định 

Vậy `MD` luôn đi qua điểm $E$ cố định khi $M$ thay đổi trên $BC$