Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $E$ là trung điểm $AC$

               $H, F$ đối xứng qua $E\to E$ là trung điểm $HF$

$\to AC\cap HF=E$ là trung điểm mỗi đường

$\to AHCF$ là hình bình hành

Mà $AH\perp BC\to AH\perp HC$

$\to AHCF$ là hình chữ nhật

b.Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A, AH\perp BC\to H$ là trung điểm $BC$

               $AHCF$ là hình chữ nhật

$\to AF//CH, AF=CH$

$\to AF//BH, AF=BH$

$\to ABHF$ là hình bình hành

$\to AH\cap BF$ tại trung điểm mỗi đường

Vì $O$ là trung điểm $AH\to O$ là trung điểm $BF$

$\to B, O, F$ thẳng hàng

c.Ta có: $E, O$ là trung điểm $HF, HA$

               $AE\cap FO=I$

$\to I$ là trọng tâm $\Delta AHF$

$\to FI=\dfrac23FO=\dfrac13\cdot 2FO=\dfrac13FB$

d.Ta có: $EM//AH(\perp BC), E$ là trung điểm $CA$

$\to EM$ là đường trung bình $\Delta HAC$

$\to EM//AH, EM=\dfrac12AH$

$\to EM//OH, EM=OH$

$\to EMHO$ là hình bình hành

Mà $EM\perp BC\to EMHO$ là hình chữ nhật

Để $OEMH$ là hình vuông

$\to HE$ là phân giác $\widehat{OHM}$

$\to HE$ là phân giác $\widehat{AHC}$

Mà $E$ là trung điểm $AC$

$\to \Delta AHC$ vuông cân tại $H$

$\to \hat C=45^o\to \Delta ABC$ vuông cân tại $A$