Đáp án + Giải thích các bước giải:

a)  + Xét ΔABM có:

BE là tia p/g ∠ABM (gt)

BA = BM (gt)

→ ΔABM cân tại B có tia phân giác BE 

→ BE là đường trung trực ΔABM (tc)  

→ BE là đg trung trực đoạn thẳng AM (dpcm)

+ Xét ΔBAE và ΔBME có:

∠ABE = ∠MBE (BE là tia pg ∠ABM)

AB = BM (gt)

BE chung

→ ΔBAE = ΔBME (c.g.c)

→ ∠BAE = ∠BME (2 góc tg ứng)

mà ∠BAE = 90o (∠BAC = 90o, E ∈ AC)

→ ∠BME = 90o → ME ⊥ BC (dpcm)

b) + Vì BI là đg trung trực AM (gt)

→ AI = IM và ∠BIA = ∠BIM = 90o (tc)

mà AI + IM = AM = 12cm (gt)

→ AI = IM = 6cm

+ Xét ΔBIA có: ∠BIA = 90o (cmt) 

→ ΔBIA là Δ vuông tại I

→ BI^2 + AI^2 = BA^2 (py-ta-go)

→ BI^2 = BA^2 - AI^2

→ BI = 8cm

Vậy BI = 8cm

c) + Xét ΔBAE và ΔCHE có:

∠BAE = ∠CHE = 90o (CH ⊥ BE)

∠BEA = ∠CEH (đối đỉnh)

→ ΔBAE đồng dạng với ΔCHE (g.g)

→ ∠HCE = ∠ABE (2 góc tg ứng)

mà ∠ABE = ∠MBE (cma)

→ ∠HCE = ∠MBE = ∠EBC (M ∈ BC) 

+ Để CA là tia pg ∠BCH → ∠HCA = ∠BCA

mà ∠HCA = ∠HBC (cmt) , ∠HBC = ∠ABE (cma)

→ ∠BCA = ∠ABE = ∠HBC

lại có ∠HBC + ∠ABE + ∠BCA = 90o (ΔABC vuông tại A)

→ ∠BCA = ∠ABE = BCA = 30o

→ Để CA là tia pg ∠BCH thì ΔABC vuông tại A cần có thêm điều kiện ∠BCA = 30o

+ Xét ΔBEC có: ∠EBC = ∠ECB = 30o (cmt)

→ ΔBEC là Δ cân tại E → BE = EC (tc)

+ Xét ΔABE và ΔHCE có:

∠ABE = ∠ECH ( = 30o)

∠BEA = ∠CEH (đối đỉnh)

BE = EC (cmt)

→ ΔABE = ΔHCE (g.c.g) 

→ AB = HC (2 cạnh tương ứng)

mà HC < CE (cgv < ch)

→ AB < CE 

Vậy ∠HCE = ∠EBC ; ΔABC cần có thêm điều kiện ∠ACB = 30o để CA là tia pg ∠BCH ; lúc đó, AB < CE

Chú thích:

- gt: giả thiết

- tc: tính chất

- cgv: cạnh góc vuông

- ch: cạnh huyền

- cma, cmb, cmc, cmt: chứng minh a (b, c, trên)

- pg: phân giác

- tg: tương

- đg: đường

- dpcm: điều phải chứng minh.