Bạn xem hình

Đáp án:

$\left( {AC,\left( {SCD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}} \right)$

Giải thích các bước giải:

 Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $CD;SD$ và $OG\bot EF=G$

Ta có:

$O,F$ lần lượt là trung điểm của $BD,SD$

$\to OF$ là đường trung bình của tam giác $SBD$
$\to OF//SB;OF=\dfrac{1}{2}SB=a$

$\to OF\bot (ABCD)$

$\to OF\bot CD$

Chứng minh tương tự ta có: $OE//AD;OC=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}a$

$\to OE\bot CD$

Ta có:

$OE\bot CD;OF\bot CD;OE\cap OF=O$

$\to CD\bot (OEF)$

$\to CD\bot OG$

Lại có:

$OG\bot CD;OG\bot EF; EF\cap CD=E$

$\to OG\bot (SCD)$

$\to G$ là hình chiếu của $O$ trên $(SCD)$

$\to (OC,(SCD))=(OC,GC)=\widehat{OCG}$

$\to (AC,(SCD))=\widehat{OCG}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta OEF;\widehat O = {90^0};OF = a;OE = \dfrac{a}{2};OG \bot EF = G\\
 \Rightarrow OG = \sqrt {\dfrac{1}{{\dfrac{1}{{O{E^2}}} + \dfrac{1}{{O{F^2}}}}}}  = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta OGC;\widehat G = {90^0};OC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};OG = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\\
 \Rightarrow \sin \widehat {OCG} = \dfrac{{OG}}{{OC}} = \dfrac{{\dfrac{a}{{\sqrt 5 }}}}{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\\
 \Rightarrow \widehat {OCG} = \arcsin \left( {\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}} \right)\\
 \Rightarrow \left( {AC,\left( {SCD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}} \right)
\end{array}$

Vậy $\left( {AC,\left( {SCD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}} \right)$