Lời giải:

a) Ta có: $H$ là tâm của $\triangle ABC$

$\Rightarrow HA = HB = HC =\dfrac{AB\sqrt3}{3}=\dfrac{a\sqrt3}{3}$

Ta lại có: $SA = SB = SC = a$

$\Rightarrow SH\perp (ABC)$

$\Rightarrow SH = d(S;(ABC))$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle SAH$ vuông tại $H$ ta được:

$\quad SA^2 = SH^2 + AH^2$

$\Rightarrow SH =\sqrt{SA^2 - AH^2}$

$\Rightarrow SH =\sqrt{a^2 -\dfrac{a^2}{3}}$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

Vậy $d(S;(ABC))= \dfrac{a\sqrt6}{3}$

b) Ta có:

$\triangle ABC$ đều

$M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow CM\perp AB$

Lại có:

$SH\perp (ABC)$ (câu a)

$\Rightarrow SH\perp AB$

Do đó: $AB\perp (SCM)$

$\Rightarrow AM\perp (SCM)$

$\Rightarrow AM = d(A;(SCM))$

$\Rightarrow d(A;(SCM))=\dfrac12AB = \dfrac a2$

Vậy $d(A;(SCM))= \dfrac a2$

c) Trong $mp(SCM)$ kẻ $HK\perp SM$

Ta có:

$AB\perp (SCM)$ (câu b)

$\Rightarrow AB\perp HK$

mà $HK\perp SM$ 

nên $HK\perp(SAB)$

$\Rightarrow HK=d(H;(SAB))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SHM$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ ta được:

$\quad SH.HM = HK.SM = 2S_{SHM}$

$\Leftrightarrow HK =\dfrac{SH.HM}{SM}$

$\Leftrightarrow HK =\dfrac{SH\cdot\dfrac{AB\sqrt3}{6}}{\dfrac{AB\sqrt3}{2}}$

$\Leftrightarrow HK = \dfrac13SH = \dfrac{a\sqrt6}{9}$

Vậy $d(H;(SAB))=\dfrac{a\sqrt6}{9}$