Đáp án + Giải thích các bước giải:

 Cho hàm số: `(d):y=(2m-1)x-m^2-1`   `(m\ne1/2)`

a) Với `m=2` (TMĐK) thay vào hàm số trên ta có:

`y=(2.2-1)x-2^2-1`

`<=>y=3x-5`

Do hệ số `a=3>0` nên hàm số trên đồng biến trên `R.`

`b)` Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(P)` và `(d)` ta có:

`x^2=(2m-1)x-m^2-1`

`<=>x^2-(2m-1)x+m^2+1=0`

`Delta=[-(2m-1)]^2-4.1.(m^2+1)`

`=4m^2-4m+1-4m^2-4`

`=-4m-3`

Để `(P)∩(d)` tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là `x_1;x_2` thì: `Delta>0`

`<=>-4m-3>0`

`<=>-4m>3`

`<=>m<` `-3/4`

Vậy khi `m<` `-3/4` thì `(P)∩(d)` tại 2 điểm phân biệt.

+) Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2+1\end{cases}$

Lại có: `x_1(1+x_2)=-1-x_2`

`<=>x_1+x_1x_2+1+x_2=0`

`<=>(x_1+x_2)+x_1x_2+1=0`

`=>2m-1+m^2+1+1=0`

`<=>m^2+2m+1=0`

`<=>(m+1)^2=0`

`<=>m+1=0`

`<=>m=-1`  `(TMĐK)`

Vậy khi `m=-1` thì `(P)∩(d)` tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là `x_1;x_2` thoả mãn `x_1(1+x_2)=-1-x_2`

Đáp án: (Sửa lại đề: $y=(2m-1)x-m^2-1$, nếu đề sai thì bảo mình)

$a)$ Đồng biến

$b)m=-1$

Giải thích các bước giải:

$a)$ Khi $m=2$ ta có hàm số: $y=3x-5$

Do $3>0⇒$ Hàm số đồng biến

$b)$ Đặt đồ thị hàm số là đường thẳng $(d)$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$x^2=(2m-1)x-m^2-1⇔x^2-(2m-1)x+m^2+1=0(*)$

Ta có: $Δ=[-(2m-1)]^2-4(m^2+1)$

$=-4m-3$

Số điểm chung của $(P)$ và $(d)$ là số nghiệm của phương trình $(*)$

$(P)$ cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt

$⇔$ Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt

$⇔Δ>0$

`⇔-4m-3>0⇔m<\frac{-3}{4}`

Do $x_1;x_2$ là hoành độ giao điểm nên chúng là nghiệm của phương trình $(*)$ 

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2+1\end{cases}$

Ta có: $x_1(1+x_2)=-1-x_2$

$⇔x_1+x_1x_2+x_2+1=0$

$⇔(2m-1)+(m^2+1)+1=0$

$⇔m^2+2m+1=0$

$⇔(m+1)^2=0$

$⇔m+1=0⇔m=-1$ (thỏa mãn ĐK)